数学B:等差数列、数列の和の公式と求め方がわかりやすい話

はい、数学Bの話もしてみたくなりました。

文系の人には数列やベクトルは「苦手」という人は多いですね。
でも、定期試験はしっかりとクリアしなくてはならないですし、センター試験も受けるのなら基本はしっかりと抑えておかなくてはいけません。

というわけで、今日は数列の基本についてみていきましょう！

等差数列は初項と公差を判別するところから始めよう

まずは等差数列についてみていきましょう。

数列の問題を解く時、まずは

数字が並んでいる問題の場合、項と項の差を見る

ことをしましょう。

（１）の場合、項と項の差が常に２
（２）の場合、項と項の差が常に－３であることが分かり
いずれも等差数列であることが分かります。

（１）は、初項が３、公差が２の等差数列
（２）は、初項が15、公差が－３の等差数列です

（１）の一般項を求めるところを丁寧に見ていきます。
ａ_１＝３、ａ_２＝３＋２、ａ_３＝３＋２＋２、ａ_４＝３＋２＋２＋２
となっていきます。

これを一般式ａ_ｎで表現すると
ａ_ｎ＝３＋２(ｎ－１)になります。
この式で３が初項、２は公差です。

同様に考えると（２）の一般項は
ａ_ｎ＝１５＋(－５)(ｎ－１)になります。

この等差数列は、初項をａ_１、公差をｄと置くと

ａ_ｎ＝ａ_１＋(ｎ－１)ｄと表せます。

この公式を用いれば

（３）の一般項は
ａ_ｎ＝５＋４(ｎ－１)

（４）の一般項は
ａ_ｎ＝２０＋(－２)(ｎ－１)

と求まります。
第10項は一般式にｎ＝１０を代入して求めます。

 

等差数列の和は条件によって２つの公式を使い分けるべし

次は等差数列の和についてみていきますよ。

（５）のような場合は、公差や一般項が分からなくても和を求めることができます。
等差数列の場合、第1項と第８項の和＝第2項と第7項の和＝3項と6項の和・・・になります。
この数列は、3,6,9,12,15,18,21,24なので、
（３+24）＝（6+21）＝（9+18）＝（12+15）
という関係になります。
従って、和は、４×（３+24）＝108になります。

これを一般化すると

初項をａ、末項をｌ、項数をｎとおくと
1/2×ｎ×（ａ＋ｌ）と表せます。

（６）のような場合は、一般項を考えてみましょう。
一般項はａ_ｎ＝２＋３（ｎ－１）で
ａ₁₀＝２+３×９＝29です。
ａ₁₀は末項ｌですので、和は1/2×10×(２+29)＝155になります。

この場合に、末項ｌはｎ番目の項なので、初項ａと公差dを用いると

ｌ＝ａ＋(ｎ－１)ｄとなります。
これを、（１）の式に代入します。すると

初項をａ、公差をｄ、項数をｎとおくと
和は　1/2×ｎ×（２ａ+(ｎ－１)ｄ）になります。

この２つの和の公式はしっかりと理解しましょう。

等差数列の和の応用問題だって余裕！

等差数列の和の応用問題も見てみましょう。余裕余裕！

まずは、公差がマイナスの等差数列の問題です。
公差がマイナスの場合、徐々に数字が小さくなっていきます。

（７）の数列では、15、13、11、と数字が小さくなっていきます。
初めて負の項になるのは何項めか？という問題なので、数えていっても良いのですが、一般項を用いてみましょう。

初項 15、公差 −2 なので、
一般項はａ_n=15ー２(ｎ－１)となります。

負の値になる項を考えるので15ー２(ｎ－１)＜０を解けばＯＫです。
解くと17－２ｎ＜０で、　8.5＜ｎ　となります。

ｎは整数なので、ｎが９以上の時に負の項になります。

答え：第９項め

（８）は和の最大値を求める問題です。
和が最大なのは、正の項を足すときまでです。
したがって、第８項めまでの和が最大値になります。

等差数列の和の公式、1/2×ｎ×{２ａ+(ｎ－１)ｄ}に
ａ＝15、ｄ＝ー２、ｎ＝８を代入します。

1/2×８×{２×15＋(８－１)×ー２}
＝４×（30－14）＝64

答え：64

ちなみに、第９項めまでの和は63になります。

（９）自然数は初項１で公差が１の等差数列です。

したがって、ｎ項めまでの和は
1/2×ｎ×{２+(ｎ－１)}

＝1/2×ｎ×（ｎ＋１)

になります。

この式は、Σの計算の時に、また出てきます。

（１０）奇数は、初項１で、公差が２の等差数列です。

したがって、ｎ項めまでの和は

1/2×ｎ×{２+(ｎ－１)×２}

＝1/2×ｎ×（２ｎ＋２－２)＝ｎ^２

になります。

奇数をｎ番目まで足すと、ｎ^２になるんだ！
って不思議な感じですね。
実際に確認してみましょう。

１＋３＋５＝９＝３^２

１＋３＋５＋７＋９＝25＝５^２

たしかに、奇数をｎ番目まで足すと、ｎ^２になっています。

自然数の和、奇数の和の問題は、定番なので、しっかりマスターしましょう。

等差数列の和の公式と求め方まとめ

はい、今日は等差数列について
一般項・和の公式について問題を解きながら見てきました。

これは数列の基本なのでしっかりとマスターしましょう。

等比数列は次に続きます。では。