都立高校受験応援ブログ

都立高校受験に役立つ情報を発信します。高校情報、勉強法など。無料相談も受け付けています。

大学受験 数学の勉強法 高校

数学B:等差数列、数列の和の公式と求め方がわかりやすい話

投稿日:

はい、数学Bの話もしてみたくなりました。

文系の人には数列やベクトルは「苦手」という人は多いですね。
でも、定期試験はしっかりとクリアしなくてはならないですし、センター試験も受けるのなら基本はしっかりと抑えておかなくてはいけません。

というわけで、今日は数列の基本についてみていきましょう!

等差数列は初項と公差を判別するところから始めよう。

まずは等差数列についてみていきましょう。

問題
次の数列の一般項と第10項を求めなさい

(1)3,5,7,9,11

(2)15,12,9,6,3

(3)初項が5、公差が4

(4)初項が20、公差がー2

数列の問題を解く時、まずは

数字が並んでいる問題の場合、項と項の差を見る

ことをしましょう。

(1)の場合、項と項の差が常に2
(2)の場合、項と項の差が常に-3であることが分かり
いずれも等差数列であることが分かります。

(1)は、初項が3、公差が2等差数列
(2)は、初項が15、公差が-3等差数列です

(1)の一般項を求めるところを丁寧に見ていきます。
=3、a=3+2、a=3+2+2、a=3+2+2+2
となっていきます。

これを一般式aで表現すると
=3+2(n-1)になります。
この式で3が初項2は公差です。

同様に考えると(2)の一般項は
=15+(-5)(n-1)になります。

この等差数列は、初項を、公差をと置くと

=a+(n-1)dと表せます。

この公式を用いれば

(3)の一般項は
=5+4(n-1)

(4)の一般項は
=20+(-2)(n-1)

と求まります。
第10項は一般式にn=10を代入して求めます。

答え
(1)=3+2(n-1) 
   第10項=21

(2)=15+(-5)(n-1) 
   第10項=-30

(3)=5+4(n-1) 
   第10項=41

(4)=20+(-2)(n-1) 
   第10項=2

 

等差数列の和は条件によって2つの公式を使い分けるべし

次は等差数列の和についてみていきますよ。

問題
次の数列の和を求めなさい

(5)初項が3、末項が24、項数が8

(6)初項が 2、公差が 3、項数が 10

(5)のような場合は、公差や一般項が分からなくても和を求めることができます。
等差数列の場合、第1項と第8項の和=第2項と第7項の和=3項と6項の和・・・になります。
この数列は、3,6,9,12,15,18,21,24なので、
(3+24)=(6+21)=(9+18)=(12+15)
という関係になります。
従って、和は、4×(3+24)=108になります。

これを一般化すると

初項をa、末項をl、項数をnとおくと
1/2×n×(a+l)と表せます。

(6)のような場合は、一般項を考えてみましょう。
一般項はa=2+3(n-1)で
10=2+3×9=29です。
10は末項lですので、和は1/2×10×(2+29)=155になります。

この場合に、末項lはn番目の項なので、初項aと公差dを用いると

l=a+(n-1)dとなります。
これを、(1)の式に代入します。すると

初項をa、公差をd、項数をnとおくと
和は 1/2×n×(2a+(n-1)d)になります。

初項をa、末項をl、項数をnとおくと
第n項までの和は、 
1/2×n×(a+l)

初項をa、公差をd、項数をnとおくと
第n項までの和は、 
1/2×n×{2a+(n-1)d}

この2つの和の公式はしっかりと理解しましょう。

等差数列の和の応用問題だって余裕!

等差数列の和の応用問題も見てみましょう。余裕余裕!

問題
(7)初項 15、公差 2 の等差数列において、初めて負の項となる項は第何項目か答えなさい。
(8)この数列の和の最大値はいくつか答えなさい。

まずは、公差がマイナスの等差数列の問題です。
公差がマイナスの場合、徐々に数字が小さくなっていきます。

(7)の数列では、15、13、11、と数字が小さくなっていきます。
初めて負の項になるのは何項めか?という問題なので、数えていっても良いのですが、一般項を用いてみましょう。

初項 15、公差 2 なので、
一般項はan=15ー2(n-1)となります。

負の値になる項を考えるので15ー2(n-1)<0を解けばOKです。
解くと17-2n<0で、 8.5<n となります。

nは整数なので、nが9以上の時に負の項になります。

答え:第9項め

(8)は和の最大値を求める問題です。
和が最大なのは、正の項を足すときまでです。
したがって、第8項めまでの和が最大値になります。

等差数列の和の公式、1/2×n×{2a+(n-1)d}に
a=15、d=ー2、n=8を代入します。

1/2×8×{2×15+(8-1)×ー2}
=4×(30-14)=64

答え:64

ちなみに、第9項めまでの和は63になります。

問題
(9)自然数を1からnまで足した和をnを用いて答えなさい。
(10)奇数を1から2n+1まで足した和をnを用いて答えなさい。

 

(9)自然数は初項1で公差が1の等差数列です。

したがって、n項めまでの和は
1/2×n×{2+(n-1)}

1/2×n×(n+1)

になります。

この式は、Σの計算の時に、また出てきます。

(10)奇数は、初項1で、公差が2の等差数列です。

したがって、n項めまでの和は

1/2×n×{2+(n-1)×2}

1/2×n×(2n+2-2)=

になります。

奇数をn番目まで足すと、nになるんだ!
って不思議な感じですね。
実際に確認してみましょう。

1+3+5=9=3

1+3+5+7+9=25=5

たしかに、奇数をn番目まで足すと、nになっています。

自然数の和、奇数の和の問題は、定番なので、しっかりマスターしましょう。

等差数列の和の公式と求め方まとめ

はい、今日は等差数列について
一般項・和の公式について問題を解きながら見てきました。

等差数列の一般項は、

初項をa、公差をdと置くと
=a+(n-1)dと表せる。

等差数列の第n項までの和は

初項をa、末項をl、項数をnとおくと
1/2×n×(a+l)と表せる。

初項をa、公差をd、項数をnとおくと
1/2×n×{2a+(n-1)d}と表せる。

これは数列の基本なのでしっかりとマスターしましょう。

等比数列は次に続きます。では。

 

-大学受験, 数学の勉強法, 高校

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)

関連記事

英語長文は読まなくても解けるって本当?英語長文勉強法1

今日は、英語長文の勉強法について触れたいと思います。 「英語長文は、全部読まなくても解ける」っていう話、聞いたことありませんか?ネットで英語長文の勉強法を調べると、よく目にするフレーズです。でも本当で …

数学A・場合の数:硬貨の払い方の解き方を極めよう

今日は数学Aの場合の数の解き方を極めよう!その1です。 場合の数や確率の問題は、文章を読んで、そこから解き方のパターンを見つけます。 自分なりの解き方のスタイルを身につけることが、場合の数マスターにな …

高校数学I・式と計算:因数分解、試験で解いておきたいこの1問

そろそろ高校でも中間試験が始まります。高校1年生は初めての高校での試験、出だし良くいい点を取りたいですよね。今日のテーマは数学I、名付けて「因数分解解いておきたいこの1問」試験に出たらサクッと解いて周 …

都立文京高校の偏差値・評判・進学実績・説明会は?

こんにちは、今日は進学実績赤丸急上昇の文京高校の紹介をします。偏差値・受験情報・評判・推薦・合格ラインなどについても紹介します。 文京高校説明会情報 学校見学会:8/11-14、8/17-21、9/5 …

国立大13校、英語「中卒程度」で出願可?その意図は?

今日のニュースに 国立大13校、英語「中卒程度」で出願可 民間試験活用に疑問 という記事がありました。 「2020年度に始まる大学入学共通テストに導入される英語の民間資格・検定試験の成績について、全国 …