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中学 数学の勉強法 高校受験

2020年都立高校入試、数学の解答と解説をしました。(過去問解説)

投稿日:2020年2月22日 更新日:

こんにちは。
2020年度都立高校入学試験が終わりました。

ここでは、2020年度
都立高校入学試験の数学の解き方
を説明したいと思います。

主に大問2,3,4,5についてです
もちろん別解あると思います

大問1、大問2の解説

まずは、大問1の問8
円周角の問題
です。
この問題のポイントは、

円周角は中心角
直系の円周角は90°

をうまく使うことです。

∠AOC=∠BDC=aとする。
∠ADCは、弧ACの円周角で、aの半分である。
∠ADBは、半円の円周角なので90°
1.5a=90° a=60°
AO=OCなので、
∠ACO=(180-60)÷2=60°

∠x=60-34=26°

次に、大問2の問1です。

普通に、円柱の体積を求めるだけですね。
X=πa2h、Y=πb2hなので、

X-Y=π(a2-b2)hですね。

大問2の問2は、
解答例がすでに出ていますが一応、

AD=2πah、DH=2πbhより、
AH=2π(a+b)hになる。
この円柱の半径はa+bである。

先生が示した問題の2つの円柱の
体積の和:
W=πa2h+πb2h=π(a2+b2)h

組み合わせた円柱の体積:
Z=π(a+b)2h=π(a2+2ab+b2)h

よって

Z-W=π(a2+2ab+b2)-π(a2+b2)h
2πabh

大問3の解説

大問3の2次関数の問題です。

大問3の問1です。

xの値が、-8から2まで変化
最大値はx=-8で16になり
最小値はx=0で

大問3の問2です。

点Pのy座標は36÷4=9

点A(4,4)と点P(-6,9)
を通る直線は、

y=ax+bとおいて、

4=4a+b
9=-6a+b

この連立方程式を解いて

a=-1/2
b=6

になります。

大問3の問3です。

点Pを(p,1/4p)とおきます。

点A(4,4)とy軸対称な点Bは(-4,4)
点Qは、(p,0)になる。

△AOQの面積は
p×4÷2=2p

四角形OAPBの面積は
△ABOと△ABPに分けて求める

△ABO=8×4÷2=16
△ABP=8×(1/4p2-4)÷2=
p2-16

四角形OAPBの面積は
16+p2-16=p2

四角形OAPBの面積は
△AOQの面積の4倍

p2=8p(ただし、p>4)

これを満たすpは8

大問4の解説

大問4の平面図形の問題です。

大問4の問1です。

CP=CQより、△CPQは直角二等辺三角形
よって、∠QPC=45°
△ABPは直角三角形なので
∠APB=(90-a)°

∠APQ=
180°-∠QPC-∠APB
=180-90+a-45
(a+45)°

 

大問4の問3です

問2よりBP=DQ=3cm
AB=DE=4cm

△EDQに着目する
三平方の定理よりEQ=5cm

△EDQは辺の比が
3:4:5の直角三角形
である。

次に△EARと△EDQを見る。
1つの鋭角を共有する直角三角形
なので△EAR∽△EDQ。

下の図のような相似関係から
ER=8×4÷5=32/5

QR=ER-EQ=32/5-5=7/5

EQ:QR=5:7/5

25:7

大問5の解説

大問5の立体図形の問題です。

大問5の問1です。

△DQPは上の図のような直角三角形
QPは三平方の定理より6√5

△DQPの面積は
8×6√5÷2=24√5

 

大問5の問2です。

良い解き方が思いつかず、力業

P-DQRHの体積
四角柱BCDQ-GHRFから
4つの四角すい
PーCDQB、
PーGHRF
P-BQRF、PーCDHG
を引いた値になる

四角柱BCDQ-GHRF
=(6+2)×8÷2×12=384cm3

PーCDQB+PーGHRF
=(6+2)×8÷2×12÷3=128cm3

P-BQRF
=2×12×5÷3=40cm3
PーCDHG
=6×12×3÷3=72cm3

P-DQRHの体積は
384-128-40-72
144cm3

 

解法2
底面DQRHに対して、高さを求める方法。
立体を真上からみた図を考える。

Pから面DQRHに対して垂直におろした線と
面の交点をHとする。PHの長さを求めたい。

DQの長さは三平方の定理より4√5

次に△DPQの面積を求める。
これは、四角形ABCDから△DAQ、△PQB、△PDCを引くことで求まる。
△DPQの面積=48-9-16-5=18

PHをhとおくと、
△DPQの面積=4√5×h÷2と書ける。
4√5×h÷2=18からhを求める

PH=h=9√5/5となる。

体積は、面DQRHの面積とPHから
4√5×12×9√5÷5÷3=144cm3
となる。

2020年都立高校入試、数学の解説まとめ

2020年度
都立高校入学試験の数学の解説
をしました。

もっと良い解き方があるものもあります。
(特に大問5の問2)

こういう解き方もあるということで
参考にしてください。

2020年都立高校入試、社会の解答と解説をしました。

-中学, 数学の勉強法, 高校受験

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