こんにちは。
2020年度都立高校入学試験が終わりました。
ここでは、2020年度
都立高校入学試験の数学の解き方
を説明したいと思います。
主に大問2,3,4,5についてです
もちろん別解あると思います。
大問1、大問2の解説
まずは、大問1の問8
円周角の問題です。
この問題のポイントは、
円周角は中心角
直系の円周角は90°
をうまく使うことです。

∠AOC=∠BDC=aとする。
∠ADCは、弧ACの円周角で、aの半分である。
∠ADBは、半円の円周角なので90°
1.5a=90° a=60°
AO=OCなので、
∠ACO=(180-60)÷2=60°
∠x=60-34=26°
次に、大問2の問1です。

普通に、円柱の体積を求めるだけですね。
X=πa2h、Y=πb2hなので、
X-Y=π(a2-b2)hですね。
大問2の問2は、
解答例がすでに出ていますが一応、

AD=2πah、DH=2πbhより、
AH=2π(a+b)hになる。
この円柱の半径はa+bである。
先生が示した問題の2つの円柱の
体積の和:
W=πa2h+πb2h=π(a2+b2)h
組み合わせた円柱の体積:
Z=π(a+b)2h=π(a2+2ab+b2)h
よって
Z-W=π(a2+2ab+b2)-π(a2+b2)h
=2πabh
大問3の解説
大問3の2次関数の問題です。
大問3の問1です。
xの値が、-8から2まで変化
最大値はx=-8で16になり
最小値はx=0で0
大問3の問2です。
点Pのy座標は36÷4=9
点A(4,4)と点P(-6,9)
を通る直線は、
y=ax+bとおいて、
4=4a+b
9=-6a+b
この連立方程式を解いて
a=-1/2
b=6
になります。
大問3の問3です。

点Pを(p,1/4p2)とおきます。
点A(4,4)とy軸対称な点Bは(-4,4)
点Qは、(p,0)になる。
△AOQの面積は
p×4÷2=2p
四角形OAPBの面積は
△ABOと△ABPに分けて求める
△ABO=8×4÷2=16
△ABP=8×(1/4p2-4)÷2=
p2-16
四角形OAPBの面積は
16+p2-16=p2
四角形OAPBの面積は
△AOQの面積の4倍
p2=8p(ただし、p>4)
これを満たすpは8
大問4の解説
大問4の平面図形の問題です。
大問4の問1です。

CP=CQより、△CPQは直角二等辺三角形
よって、∠QPC=45°
△ABPは直角三角形なので
∠APB=(90-a)°
∠APQ=
180°-∠QPC-∠APB
=180-90+a-45
=(a+45)°
大問4の問3です

問2よりBP=DQ=3cm
AB=DE=4cm
△EDQに着目する
三平方の定理よりEQ=5cm
△EDQは辺の比が
3:4:5の直角三角形
である。
次に△EARと△EDQを見る。
1つの鋭角を共有する直角三角形
なので△EAR∽△EDQ。
下の図のような相似関係から
ER=8×4÷5=32/5
QR=ER-EQ=32/5-5=7/5
EQ:QR=5:7/5
=25:7

大問5の解説
大問5の立体図形の問題です。
大問5の問1です。

△DQPは上の図のような直角三角形
QPは三平方の定理より6√5
△DQPの面積は
8×6√5÷2=24√5。
大問5の問2です。
良い解き方が思いつかず、力業で

P-DQRHの体積は
四角柱BCDQ-GHRFから
4つの四角すい
PーCDQB、PーGHRF
P-BQRF、PーCDHG
を引いた値になる
四角柱BCDQ-GHRF
=(6+2)×8÷2×12=384cm3
PーCDQB+PーGHRF
=(6+2)×8÷2×12÷3=128cm3
P-BQRF
=2×12×5÷3=40cm3
PーCDHG
=6×12×3÷3=72cm3
P-DQRHの体積は
384-128-40-72
=144cm3
解法2
底面DQRHに対して、高さを求める方法。
立体を真上からみた図を考える。

Pから面DQRHに対して垂直におろした線と
面の交点をHとする。PHの長さを求めたい。
DQの長さは三平方の定理より4√5
次に△DPQの面積を求める。
これは、四角形ABCDから△DAQ、△PQB、△PDCを引くことで求まる。
△DPQの面積=48-9-16-5=18
PHをhとおくと、
△DPQの面積=4√5×h÷2と書ける。
4√5×h÷2=18からhを求める
PH=h=9√5/5となる。
体積は、面DQRHの面積とPHから
4√5×12×9√5÷5÷3=144cm3
となる。
2020年都立高校入試、数学の解説まとめ
2020年度
都立高校入学試験の数学の解説
をしました。
もっと良い解き方があるものもあります。
(特に大問5の問2)
こういう解き方もあるということで
参考にしてください。


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