2020年都立高校入試、数学の解答と解説をしました。(過去問解説)

∠AOC=∠BDC＝ａとする。
∠ADCは、弧ACの円周角で、aの半分である。
∠ADBは、半円の円周角なので90°
1.5ａ＝90°　ａ＝60°
AO=OCなので、
∠ACO＝（180-60）÷２＝60°

∠ｘ＝60－34＝26°

普通に、円柱の体積を求めるだけですね。
X＝πa²h、Y＝πb²hなので、
X－Y＝π（a²－b²）hですね。

AD=2πah、DH＝2πbhより、
AH=2π(a+b)hになる。
この円柱の半径はa+bである。

先生が示した問題の2つの円柱の
体積の和：
W=πa²h+πb²h＝π(a²+b²)h

組み合わせた円柱の体積：
Z＝π(a+b)²h＝π(a²+2ab+b²)h

よって

Z－W＝π(a²+2ab+b²)－π(a²+b²)h
＝2πabh

ｘの値が、－８から２まで変化
最大値はｘ＝－８で１６になり
最小値はｘ＝０で０

点Pのｙ座標は36÷4＝９

点A(４,４)と点P(－６,９)
を通る直線は、

y=ax+bとおいて、

4＝4a+b
9＝－6a+b

この連立方程式を解いて

a=－1/2
ｂ＝6

点Pを(p，1/4p^２)とおきます。

点A(４,４)とy軸対称な点Bは(－４,４)
点Qは、(p，０)になる。

△AOQの面積は
ｐ×4÷２＝2ｐ

四角形OAPBの面積は
△ABOと△ABPに分けて求める

△ABO＝８×４÷２＝１６
△ABP＝８×(1/4p²－４)÷２＝
p²－１６

四角形OAPBの面積は
１６+p²－１６＝p²

四角形OAPBの面積は
△AOQの面積の4倍

p²＝8p(ただし、p＞４)

これを満たすｐは８

CP=CQより、△CPQは直角二等辺三角形
よって、∠QPC＝45°
△ABPは直角三角形なので
∠APB＝(90－ａ)°

∠APQ＝
180°－∠QPC－∠APB
＝180－90+ａ－45
＝(ａ+45)°

△DQPは上の図のような直角三角形
QPは三平方の定理より６√５

△DQPの面積は
8×６√５÷２＝24√５。

P－DQRHの体積は
四角柱BCDQ－GHRFから
４つの四角すい
PーCDQB、PーGHRF
P－BQRF、PーCDHG
を引いた値になる

四角柱BCDQ－GHRF
＝(6+2)×8÷2×12＝384cm³

PーCDQB+PーGHRF
＝(6+2)×8÷2×12÷3＝128cm³

P－BQRF
＝2×12×5÷3＝40cm³
PーCDHG
＝6×12×3÷3＝72cm³

P－DQRHの体積は
384－128－40－72
＝144cm³

解法２
底面DQRHに対して、高さを求める方法。
立体を真上からみた図を考える。

Pから面DQRHに対して垂直におろした線と
面の交点をHとする。PHの長さを求めたい。

DQの長さは三平方の定理より４√５

次に△DPQの面積を求める。
これは、四角形ABCDから△DAQ、△PQB、△PDCを引くことで求まる。
△DPQの面積＝48－9－16－5＝18

PHをｈとおくと、
△DPQの面積＝4√５×ｈ÷２と書ける。
4√５×ｈ÷２＝18からｈを求める

PH=ｈ＝9√５/５となる。

体積は、面DQRHの面積とPHから
4√５×12×9√５÷５÷3＝144cm3
となる。