さて、自習状態が続いていますね。
今日は中学3年の数学、因数分解を取り上げます。公式や因数分解の解き方の簡単な方法を問題を解きながらマスターしていこう！
因数分解の解き方１：共通因数をくくりだす簡単な方法
問題
次の式を因数分解しなさい。
１）2ax＋8ａ
２）3ｘ2＋6ｘ
まずは、共通な因数をくくる問題です。
多項式の各項に共通している因数を見つけてくくります。
２ｘ＋８を2でくくって２(ｘ＋４）という風に計算したのと同じです。
１）の場合、共通している「2a」でくくります。
2ax＋8ａ＝2a(ｘ＋4)
２）の場合、共通している「3x」でくくります
3ｘ2＋6ｘ＝3x(ｘ＋2)
ここで、注意したいのは
係数も一緒にくくることです
3ｘ2＋6ｘ＝ｘ(3ｘ＋6)
は間違いになります。
共通因数でくくるのは、一番簡単な方法ですが
しっかりと「係数」を間違えないようにくくることが大切です。
因数分解の解き方２：和と差の積の公式を用いる方法
問題２
次の式を因数分解しなさい。
３）ｘ2－16
４）ｘ2－9y2
３）、４）どちらも、2乗引く2乗の形になっています。
３）ではｘの2乗と2の2乗の差です
４）ではｘの2乗と3ｙの2乗の差です
このような式の場合、和と差の積の公式を使います。
和と差の積の公式
ｘ2－y2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
この公式を使うと
３）はｘ2－16＝(ｘ＋4)(ｘ－4)
４）はｘ2－９y2＝(ｘ＋3ｙ)(ｘ－3ｙ)
と因数分解できます
このパターンの因数分解を解くときのポイントは
自然数の2乗になる数(平方数)をしっかり覚えておくことです
4,9,16,25,36,49,64,81,100が平方数です
１×１＝１ ６×６＝36
２×２＝４ ７×７＝49
３×３＝９ ８×８＝64
４×４＝16 ９×９＝81
５×５＝25 10×10＝100
すこし応用問題になりますが、
4ｘ2－25ａ2を因数分解するときは
４が２の2乗、25が５の2乗であることが分かれば
4ｘ2－25ａ2＝(2ｘ＋5ａ)(2ｘ－5a)
というふうに、簡単に因数分解ができます。
繰り返しますが
平方数をしっかり覚えておくことが大切です。
因数分解の解き方３：和の平方・差の平方の公式を用いる方法
問題３
次の式を因数分解しなさい。
５）ｘ2＋4x＋4
６）ｘ2－8ｘ＋16
７）ｘ2－6ｘ＋9y2
今度は、項が３つある式になります。
５）を見てみます。
一番右の項は４で、2の2乗です
この場合、和の平方の公式が使えます
展開の時、和の平方の公式で
(x+a)2＝x2＋2ax＋a2
という公式がありました。
この和の平方の式を用いると
５）の式の場合、a＝２となることが分かります。
５）ｘ2＋4x＋4＝(ｘ+2)2
になります
６）の式の場合、一番右の項は16で、4の2乗です。
(x+a)2＝x2－2ax＋a2
という差の平方の公式を見ると、a＝４となることが分かります。
６）ｘ2－8x＋16＝(x－4)2
になります
７）の式の場合はすこし難しくなります。
一番右の項は9y2で、3yの2乗になります。
この場合は、和の平方の公式の
aに3yを代入します。
７）ｘ2－6ｘ＋9y2＝(x＋3y)2
になります。
このパターンも、係数が平方数であることを見破れば簡単に因数分解ができます。
因数分解の解き方４：x+aとx+bの積の公式を用いる方法
問題４
次の式を因数分解しなさい。
８）ｘ2＋5x＋6
９）ｘ2＋7x－8
10）ｘ2－6x＋8
今度は平方数は見つかりません。
このように
ｘ2＋〇x＋△
の形の式の場合は展開の公式
(x+a)(x+b)＝x2＋(a+b)x＋ab
を利用して考えます。
和(a+b)が〇、積(ab)が△の組み合わせを探します。
８）の場合、和が５、積が６の組み合わせは
２と３になり、a=2、b=3を代入します。
８）ｘ2＋5x＋6＝(ｘ+2)(ｘ+3)
となります。
同様に９）の場合、和が７、積が－８の組み合わせは
８と－１になり、aに8、bに－１を代入します。
９）ｘ2＋7x＋6＝(ｘ+8)(ｘ－1)
となります。
10）の場合、和が－6、積が８の組み合わせで、ちょっと難しそうですが、
－×－＝＋ を思いつけば、
－２と－４の組み合わせが思いつきます。
aに－2、bに－4を代入します。
10）ｘ2－6x＋8＝(ｘ－2)(ｘ－4)
となります。
この方法で考えると
５）ｘ2＋4x＋4の式も和が4、積が4の組み合わせ
となり、2と2の組み合わせになります。
a、b両方に２を代入することになり、
ｘ2＋4x＋4＝(x+2)(x+2)＝(ｘ+2)2。
と解くこともできます。
因数分解の解き方５：共通因数をくくりだしてから公式を用いる方法
基本の因数分解の解き方を見てきました。
今度は少し応用した問題を見てみます。
問題５
次の式を因数分解しなさい。
11）2ｘ2－18
12）3ｘ2＋12x＋12
13）2ｘ2＋2x－4
11）は、2乗引く2乗の公式を使えそうですが、
係数が2乗（平方数）ではありません。
解けないよ！先生が問題を作り間違えたのかな？
と思ってしまいますが、
こういう時は共通因数をくくりだす
ことを思い出しましょう。
11）の式は、２でくくれます
2ｘ2－18＝2(ｘ2－9)になります。
かっこの中は、2乗引く2乗になっています。
和と差の積の公式を使って
2ｘ2－18＝2(ｘ2－9)＝(ｘ+3)(x－3)
になります。
12)の式も同じように共通因数の３でくくると。
3ｘ2＋12x＋12＝3(ｘ2＋4x＋4)
になり、かっこの中は平方の和の公式が使えます。
12）3ｘ2＋12x＋12＝3(ｘ2＋4x＋4)＝3(ｘ+2)2
になります。
13)の式も共通因数の２でくくると。
2ｘ2＋2x－4＝2(ｘ2＋x－2)
になり、かっこの中を和が－１、積が２の組み合わせを考えて解くと
13) 2ｘ2＋2x－4＝2(ｘ2＋x－2)＝2(ｘ－2)(ｘ＋1)
になります。
慣れないと、戸惑いますが
共通因数をくくりだしてから考えれば、簡単にできます。
因数分解の解き方６：置き換えを使った因数分解
問題６
次の式を因数分解しなさい。
14）(ｘ+2)2－y2
15）(ｘ－2)2＋6(ｘ－2)＋9
16）(a－2)2＋3(a－2)－40
こういう複雑な式の場合は、
置き換えることで簡単な式にしてから
因数分解します。
14）は、x+2をAとおいてみます。
すると、
(ｘ+2)2－y2＝A2－y2
と置き換えられます
すると、和と差の積の公式を用いて。
(ｘ+2)2－y2＝A2－y2＝(A+ｙ)(A－y)
となります。
でも、ここで終わりにしてはいけません。
最後に、Aをｘ+２に戻しましょう。
14)(ｘ+2)2－y2＝A2－y2
＝(A+ｙ)(A－y)＝(x+y+2)(x-y+2)。
となります。
15）は、x－2をAとおいてみます。
すると、
(ｘ－2)2＋6(ｘ－2)＋9＝A2+6A+9
になります。
和の2乗の公式になるので
15）(ｘ－2)2＋6(ｘ－2)＋9＝A2+6A+9
＝(A+3)２＝(x－2＋1)２＝(x－1)２
となります。
16）は、a－2をAとおいてみます。
すると、
(a－2)2＋3(a－2)－40＝A2＋3A－40
になります。
和が３で積が－40の組み合わせを考えて
８と－5の組み合わせになります。
16) (a－2)2＋3(a－2)－40＝A2＋3A－40
＝(A+8)(A－5)＝(a－2+8)(a－2－5)
＝(a+6)(a－7)
となります。
複雑な式でも置き換えることで
簡単に因数分解をできます。
置き換えた後、戻すのを忘れないのも重要です。
因数分解の解き方・簡単な方法のまとめ
因数分解の解き方、簡単な方法と公式についてみてきました。
まとめると
・まずは共通因数をくくりだす
・平方数があったら、2乗引く2乗の公式
・3つの項の式で右端が平方数なら、和の2乗か差の2乗の公式
・平方数が無いときは、和と積の組み合わせを考える
・共通因数をくくってから因数分解の公式を使う
・複雑な式の場合置き換えて簡単な式にする。
ということになります。
このポイントを覚えて、因数分解をマスターしましょう！
因数分解は次の2次方程式でも使いますので大事です！
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