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中学3年数学:因数分解の解き方・簡単な方法・公式をマスターしよう!

投稿日:2020年4月24日 更新日:

さて、自習状態が続いていますね。
今日は中学3年の数学、因数分解を取り上げます。公式や因数分解の解き方の簡単な方法を問題を解きながらマスターしていこう!

因数分解の解き方1:共通因数をくくりだす簡単な方法

問題

次の式を因数分解しなさい。

1)2ax+8a

2)3x2+6x

まずは、共通な因数をくくる問題です。

多項式の各項に共通している因数を見つけてくくります。
2x+8を2でくくって2(x+4)という風に計算したのと同じです。

1)の場合、共通している「2a」でくくります。

2ax+8a=2a(x+4)

2)の場合、共通している「3x」でくくります

3x2+6x=3x(x+2)

ここで、注意したいのは
係数も一緒にくくることです

3x2+6x=x(3x+6) 
間違いになります。

共通因数でくくるのは、一番簡単な方法ですが
しっかりと「係数」を間違えないようにくくることが大切です。

因数分解の解き方2:和と差の積の公式を用いる方法

問題2

次の式を因数分解しなさい。

3)x2-16

4)x2-9y2

3)、4)どちらも、2乗引く2乗の形になっています。

3)ではxの2乗2の2乗の差です
4)ではxの2乗3yの2乗の差です

このような式の場合、和と差の積の公式を使います。

和と差の積の公式
2-y2=(x+y)(x-y)

この公式を使うと

3)は2-16=(x+4)(x-4)

4)は2-9y2=(x+3y)(x-3y)

と因数分解できます

このパターンの因数分解を解くときのポイントは
自然数の2乗になる数(平方数)をしっかり覚えておくことです

4,9,16,25,36,49,64,81,100が平方数です

1×1= 6×6=36
2×2= 7×7=49
3×3= 8×8=64
4×4=16 9×9=81
5×5=25 10×10=100

すこし応用問題になりますが、
4x2-25a2を因数分解するときは
4が2の2乗、25が5の2乗であることが分かれば

4x2-25a2=(2x+5a)(2x-5a)

というふうに、簡単に因数分解ができます。

繰り返しますが
平方数をしっかり覚えておくことが大切です。

因数分解の解き方3:和の平方・差の平方の公式を用いる方法

問題3

次の式を因数分解しなさい。

5)x2+4x+4

6)x2-8x+16

7)x2-6x+9y2

今度は、項が3つある式になります。

5)を見てみます。
一番右の項は4で、2の2乗です
この場合、和の平方の公式が使えます

展開の時、和の平方の公式で
(x+a)2=x2+2ax+a2
という公式がありました。

この和の平方の式を用いると
5)の式の場合、a=2となることが分かります

5)x2+4x+4=(x+2)2 

になります

6)の式の場合、一番右の項は16で、4の2乗です。

(x+a)2=x2-2ax+a2

という差の平方の公式を見ると、a=4となることが分かります。

6)x2-8x+16=(x-4)2 

になります

7)の式の場合はすこし難しくなります。
一番右の項は9y2で、3yの2乗になります。

この場合は、和の平方の公式
aに3yを代入します。

7)x2-6x+9y2=(x+3y)2 

になります。

このパターンも、係数が平方数であることを見破れば簡単に因数分解ができます。

因数分解の解き方4:x+aとx+bの積の公式を用いる方法

問題4

次の式を因数分解しなさい。

8)x2+5x+6

9)x2+7x-8

10)x2-6x+8

今度は平方数は見つかりません。

このように

2+〇x+△

の形の式の場合は展開の公式

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

を利用して考えます。

和(a+b)が〇、積(ab)が△の組み合わせを探します。

8)の場合、和が5、積が6の組み合わせ
2と3になり、a=2、b=3を代入します。

8)x2+5x+6=(x+2)(x+3)

となります。

同様に9)の場合、和が7、積が-8の組み合わせ
8と-1になり、aに8、bに-1を代入します。

9)x2+7x+6=(x+8)(x-1)

となります。

10)の場合、和が-6、積が8の組み合わせで、ちょっと難しそうですが、

-×-=+ を思いつけば、
-2と-4の組み合わせが思いつきます。

aに-2、bに-4を代入します。

10)x2-6x+8=(x-2)(x-4)

となります。

この方法で考えると

5)x2+4x+4の式も和が4、積が4の組み合わせ

となり、2と2の組み合わせになります。

a、b両方に2を代入することになり、

2+4x+4=(x+2)(x+2)=(x+2)2

と解くこともできます。

 

因数分解の解き方5:共通因数をくくりだしてから公式を持ち津方法

基本の因数分解の解き方を見てきました。
今度は少し応用した問題を見てみます。

問題5

次の式を因数分解しなさい。

11)2x2-18

12)3x2+12x+12

13)2x2+2x-4

11)は、2乗引く2乗の公式を使えそうですが、
係数が2乗(平方数)ではありません。

解けないよ!先生が問題を作り間違えたのかな?

と思ってしまいますが、
こういう時は共通因数をくくりだす
ことを思い出しましょう。

11)の式は、2でくくれます

2x2-18=2(x2-9)になります。

かっこの中は、2乗引く2乗になっています。
和と差の積の公式を使って

2x2-18=2(x2-9)=(x+3)(x-3)

になります。

12)の式も同じように共通因数の3でくくると。

3x2+12x+12=3(x2+4x+4)

になり、かっこの中は平方の和の公式が使えます。

12)3x2+12x+12=3(x2+4x+4)=3(x+2)2

になります。

13)の式も共通因数の2でくくると。

2x2+2x-4=2(x2+x-2)

になり、かっこの中を和が-1、積が2の組み合わせを考えて解くと

13) 2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x-2)(x+1)

になります。

慣れないと、戸惑いますが

共通因数をくくりだしてから考えれば、簡単にできます。

 

因数分解の解き方6:置き換えを使った因数分解

問題6

次の式を因数分解しなさい。

14)(x+2)2-y2

15)(x-2)2+6(x-2)+9

16)(a-2)2+3(a-2)-40

こういう複雑な式の場合は、
置き換えることで簡単な式にしてから
因数分解します。

14)は、x+2をAとおいてみます。
すると、
(x+2)2-y2A2-y2

と置き換えられます
すると、和と差の積の公式を用いて。

(x+2)2-y2=A2-y2=(A+y)(A-y)

となります。
でも、ここで終わりにしてはいけません

最後に、Aをx+2に戻しましょう

14)(x+2)2-y2A2-y2
 =(A+y)(A-y)=(x+y+2)(x-y+2)

となります。

15)は、x-2をAとおいてみます。
すると、
(x-2)2+6(x-2)+9=A2+6A+9
になります。

和の2乗の公式になるので

15)(x-2)2+6(x-2)+9=A2+6A+9
=(A+3)=(x-2+1)=(x-1)

となります。

16)は、a-2をAとおいてみます。
すると、
(a-2)2+3(a-2)-40=A2+3A-40

になります。

和が3で積が-40の組み合わせを考えて
8と-5の組み合わせになります。

16) (a-2)2+3(a-2)-40=A2+3A-40
=(A+8)(A-5)=(a-2+8)(a-2-5)
=(a+6)(a-7)

となります。

複雑な式でも置き換えることで
簡単に因数分解をできます。

置き換えた後、戻すのを忘れないのも重要です。

因数分解の解き方・簡単な方法のまとめ

因数分解の解き方、簡単な方法と公式についてみてきました。
まとめると

・まずは共通因数をくくりだす

・平方数があったら、2乗引く2乗の公式

・3つの項の式で右端が平方数なら、和の2乗か差の2乗の公式

・平方数が無いときは、和と積の組み合わせを考える

・共通因数をくくってから因数分解の公式を使う

・複雑な式の場合置き換えて簡単な式にする。

ということになります。
このポイントを覚えて、因数分解をマスターしましょう!

因数分解は次の2次方程式でも使いますので大事です!

中3数学:平方根の計算の仕方を極めよう!掛け算・割り算も

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