こにちは、今日は高校数学I、二次関数の平行移動のやり方について見てみましょう！
平行移動の公式、プラスとマイナスが混じって混乱しやすいですね。
もちろん、公式丸暗記でも問題ない（！）ですが、
一応、理屈を知っておくとすっきりするかもしれません。
二次関数の平行移動：まずは点の移動から
二次関数の移動の前に、点の移動を考えましょう
問題
点（２，２）をｘ軸方向に３、ｙ軸方向に－２移動した点の座標を求めなさい。
この場合、ｘ座標とｙ座標に分けて考えれば良いですね。
ｘ：2+3＝5
ｙ：2－2＝0
よって（5，0）
になります。
これを一般的に表現すると。
点の座標は(ｘ＋ｐ，ｙ＋ｑ)
と表せます。
二次関数の平行移動：一次関数の移動で考える
点の移動を確認したら、
次に１次関数の平行移動を考えましょう。
問題 次の一次関数の式を答えなさい。
ａ．ｙ＝２ｘをｙ軸方向に3移動した一次関数
ｙ＝２ｘは原点を通り、傾きが２です。
ａ．原点をｙ軸方向に3移動すると
（0,3)になります。
求める一次関数は、傾きが２で点(0,3）を通る直線です。
ｙ＝２ｘ＋ｂで点(0,3）を通る直線なのでｂ＝3
求める式はｙ＝２ｘ＋3
ｂ．原点をｘ軸方向に1移動すると
（1,0)になります。
求める一次関数は、傾きが２で点(1,0）を通る直線です。
ｙ＝２ｘ＋ｂで点(1,0）を通る直線なのでｂ＝ー2
求める式はｙ＝２ｘー２となります。
ここで、ｘを2でくくると
ｙ＝２(ｘ-1)になります。
ｃ．原点をｘ軸方向に1移動すると
（1,3)になります。
求める一次関数は、傾きが２で点(1,3）を通る直線です。
ｙ＝２ｘ＋ｂで点(1,0）を通る直線なのでｂ＝1
求める式はｙ＝２ｘ＋1となります。
ここで、bと比較するために、(x-1)でくくると
ｙ＝２(ｘ-1)+3になります。
ｘ軸方向に1
ｙ軸方向に3
移動した一次関数は、
ｙ＝２(ｘ-1)+3
と表せ、３を移項すると
ｙ－3＝２(ｘ-1)
になります。
元の式の
ｘをｘ－１に、ｙをy－3に置き換えた式になっています。
これを一般的に表現すると。
ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑ移動した直線は
ｘ＝x－p、ｙ＝ｙ－q
で置き換えた式で表せて、ｙ－q＝a(x－p) または ｙ＝a(x－p)＋ｑとなる
と書けます。
二次関数の平行移動：同様に考えてみる
ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑ移動した
一次関数は
ｘ＝x－p、ｙ＝ｙ－qで
置き換えた式で表せる
ことを学びました。
関数とはｘとｙの関係を式で表したもの
なので、1次関数でも2次関数でも同じように置き換えのルールが使えます。
う。
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
ａ．ｙ＝２ｘ2をｘ軸方向に2、ｙ軸方向に3移動した放物線
一次関数の時の平行移動のルールに従って、
ｘはx－2に、ｙはｙ－3に置き換えて式に代入します。
すると、y－3＝２(ｘ－2)2となります。
展開と移項をして
y＝2x2－8x＋11
が求められます。
確認のために点で考えると
この式は(2,3)を通るはずです。
ｘに２、ｙに３を代入すると式は成立します。
よってこの答えは正しいことがわかります。
二次関数の平行移動：実際に問題を解いてみる
2次関数の平行移動は
ｘ＝x－p、ｙ＝ｙ－qで
置き換えた式で表せる
事が分かりました。
実際に少し問題を解いてみましょう。
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
ｙ＝ｘ2+２ｘ-1を
ｘ軸方向に1、ｙ軸方向に2移動した放物線
ｘはx－1、ｙはｙ－2に置き換えて式に代入すればよいので
ｙ－2＝(ｘ－1)2+2(ｘ－1)－1＝x2－2x＋1＋2x－2－１
ｙ－3＝x2－2
ｙ＝x2+1
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
ｘ軸方向に－1、ｙ軸方向に2移動したとき
ｙ＝－ｘ2+２ｘ＋4になる放物線
今度は、移動した後から元の式を求める問題です。
移動する前を考えればいいので符号を逆にして
ｘ軸方向に1、ｙ軸方向に－2移動
したものを考えればよくなります。
ｘはxー1、ｙはｙ+2に
置き換えて式に代入すればよいので
ｙ+2＝－(ｘ－1)2+2(ｘ－1)+4＝－x2+2x－1＋2x－2+4
ｙ+2＝－x2+4ｘ+1
ｙ＝x2+4ｘ－1
二次関数の平行移動：まとめ
今日は高校数学I、二次関数の平行移動のやり方について見てみました。
平行移動するときは
ｘ＝x－p、ｙ＝ｙ－qで
置き換えた式で表せる
ことを学びました。
公式で覚えるとプラスマイナスがあいまいになるので
置き換えで考えた方が良いと思います。
置き換えは、二次関数だけじゃなく、一次関数、三次関数でも使えます。
それでは。
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