こにちは、今日は高校数学I、二次関数の平行移動のやり方について見てみましょう!
平行移動の公式、プラスとマイナスが混じって混乱しやすいですね。
もちろん、公式丸暗記でも問題ない(!)ですが、
一応、理屈を知っておくとすっきりするかもしれません。
二次関数の平行移動:まずは点の移動から
二次関数の移動の前に、点の移動を考えましょう
問題
点(2,2)をx軸方向に3、y軸方向に-2移動した点の座標を求めなさい。
この場合、x座標とy座標に分けて考えれば良いですね。
x:2+3=5
y:2-2=0
よって(5,0)
になります。
これを一般的に表現すると。
点の座標は(x+p,y+q)
と表せます。
二次関数の平行移動:一次関数の移動で考える
点の移動を確認したら、
次に1次関数の平行移動を考えましょう。
問題 次の一次関数の式を答えなさい。
a.y=2xをy軸方向に3移動した一次関数
y=2xは原点を通り、傾きが2です。
a.原点をy軸方向に3移動すると
(0,3)になります。
求める一次関数は、傾きが2で点(0,3)を通る直線です。
y=2x+bで点(0,3)を通る直線なのでb=3
求める式はy=2x+3
b.原点をx軸方向に1移動すると
(1,0)になります。
求める一次関数は、傾きが2で点(1,0)を通る直線です。
y=2x+bで点(1,0)を通る直線なのでb=ー2
求める式はy=2xー2となります。
ここで、xを2でくくると
y=2(x-1)になります。
c.原点をx軸方向に1移動すると
(1,3)になります。
求める一次関数は、傾きが2で点(1,3)を通る直線です。
y=2x+bで点(1,0)を通る直線なのでb=1
求める式はy=2x+1となります。
ここで、bと比較するために、(x-1)でくくると
y=2(x-1)+3になります。
x軸方向に1
y軸方向に3
移動した一次関数は、
y=2(x-1)+3
と表せ、3を移項すると
y-3=2(x-1)
になります。
元の式の
xをx-1に、yをy-3に置き換えた式になっています。
これを一般的に表現すると。
x軸方向にp、y軸方向にq移動した直線は
x=x-p、y=y-q
で置き換えた式で表せて、y-q=a(x-p) または y=a(x-p)+qとなる
と書けます。
二次関数の平行移動:同様に考えてみる
x軸方向にp、y軸方向にq移動した
一次関数は
x=x-p、y=y-qで
置き換えた式で表せる
ことを学びました。
関数とはxとyの関係を式で表したもの
なので、1次関数でも2次関数でも同じように置き換えのルールが使えます。
う。
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
a.y=2x2をx軸方向に2、y軸方向に3移動した放物線
一次関数の時の平行移動のルールに従って、
xはx-2に、yはy-3に置き換えて式に代入します。
すると、y-3=2(x-2)2となります。
展開と移項をして
y=2x2-8x+11
が求められます。
確認のために点で考えると
この式は(2,3)を通るはずです。
xに2、yに3を代入すると式は成立します。
よってこの答えは正しいことがわかります。
二次関数の平行移動:実際に問題を解いてみる
2次関数の平行移動は
x=x-p、y=y-qで
置き換えた式で表せる
事が分かりました。
実際に少し問題を解いてみましょう。
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
y=x2+2x-1を
x軸方向に1、y軸方向に2移動した放物線
xはx-1、yはy-2に置き換えて式に代入すればよいので
y-2=(x-1)2+2(x-1)-1=x2-2x+1+2x-2-1
y-3=x2-2
y=x2+1
問題 次の放物線の方程式を答えなさい。
x軸方向に-1、y軸方向に2移動したとき
y=-x2+2x+4になる放物線
今度は、移動した後から元の式を求める問題です。
移動する前を考えればいいので符号を逆にして
x軸方向に1、y軸方向に-2移動
したものを考えればよくなります。
xはxー1、yはy+2に
置き換えて式に代入すればよいので
y+2=-(x-1)2+2(x-1)+4=-x2+2x-1+2x-2+4
y+2=-x2+4x+1
y=x2+4x-1
二次関数の平行移動:まとめ
今日は高校数学I、二次関数の平行移動のやり方について見てみました。
平行移動するときは
x=x-p、y=y-qで
置き換えた式で表せる
ことを学びました。
公式で覚えるとプラスマイナスがあいまいになるので
置き換えで考えた方が良いと思います。
置き換えは、二次関数だけじゃなく、一次関数、三次関数でも使えます。
それでは。




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