ちわっす、今日は二次関数の平方完成について見ていきます。
平方完成苦手って人結構いますよね。
これができないと、二次関数の移動とか、最大最小の問題も苦労しますね。
平方完成のやり方と実際の問題をといてマスターしましょう!
平方完成のやり方とコツ:xの係数を半分に
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=x2+6x
まずは、簡単な問題から見ていきましょう。
平方完成のやり方は、xの係数に注目します。
xの係数をAとすると、
y=x2+Ax のAの半分の数を使って平方完成
します。そして
Aの半分の数をBとすると
y=(x-B)2-B2
となります。
実際に、y=x2+6xを平方完成してみましょう。
A=6で、6の半分は3なので
上の公式に当てはめると。
y=(x-3)2-32=(x-3)2-9
となります。
平方完成のやり方とコツ2:うっかりミスに注意
それでは次の問題。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=x2+4x+5
今度はx以外に整数の項が入りました。
この場合も同じように平方完成しますが、整数の項は一旦置いておきます。
xの係数が4なので、半分の2を公式に入れると
y=(x-2)2-22=(x-2)2-4
が求まります。
これを答えにしちゃうと間違いで、
ちゃんと+5を忘れないようにしましょう。
y=x2+4x+5=(x-2)2-22+5=(x-2)2-4+5
=(x-2)2+1
になります。
平方完成をする際に、
いつの間にか整数の項がどっか行っちゃうというミスが多いです。
青字の平方完成の作業に、必ず整数の項を書き加えるようにしましょう!
「後から足せばいい」という方法もありますが、
整数の項を足し忘れてミスになりやすいのでお勧めしません。

平方完成のやり方とコツ3:xの係数が奇数だとちょっと面倒
さて次に行きます。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=x2+3x+1
今度は、xの係数が奇数です。3なので半分は$\frac{3}{2}$です。
同じように計算しますが、少し面倒になります。
y=(x-$\frac{3}{2}$)2-($\frac{3}{2}$)2+1=(x-2)2-$\frac{9}{4}$+1
=(x-$\frac{3}{2}$)2ー$\frac{5}{4}$
となります。
分数になっても慌てずにしっかりと計算しましょう。
平方完成のやり方とコツ4:x2の係数が1じゃない時
さらに次に行きましょう。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=-x2+4x-8
今度は、x2の係数が1ではないケースです。
x2の係数が-1です。
この時は、x2とxをー1でくくります。
y=-x2+4x-8=-(x2-4x)-8
ここで、( )の中を平方完成させます。
答え
y=ー((x-2)2-4)-8=-(x-2)2+4-8
=-(x-2)2-4
全体を-1でくくることも出来ますが、
かっこを外すときに間違いやすいので、
x2とxだけをくくった方が良いです。
もうひとつ。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=2x2+3x+1
今度はx2の係数が2です。
これもx2とxを2でくくります。
y=2(x2+$\frac{3}{2}$x)+1
xの係数が分数になってしまって、ちょっと難しく感じますね。
でも、公式通り、半分の$\frac{3}{4}$にして、落ち着いて計算します。
y=2((x-$\frac{3}{4}$)2-($\frac{3}{4}$)2)+1=2(x-$\frac{3}{4}$)2-2×$\frac{9}{16}$+1
=2(x-$\frac{3}{4}$)2ー$\frac{1}{8}$
となります。
整数項の部分を、かっこを外すときに、
2×を忘れないようにしましょう。
平方完成のやり方とコツ5:他の文字が入った場合
x以外の文字が入った場合もあります。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=3x2+6x+a+1
この場合も、x2とxを3でくくります。
あとはここまでやった方法と同じで
=3((x+1)2-12)+a+1
=3(x+1)2+a-2となります。
もう一問。
問題 次の関数を平方完成しなさい
y=x2+2ax-3
こんどは、xの係数にaがついています。
xの係数を半分にするとaなので、公式を使って
=(x+a)2-a2-3
となります。
こういった文字の入った平方完成は
二次関数の最大値・最小値で出てきますので
ここでしっかりマスターしましょう。
平方完成のやり方とコツ5:他の文字が入った場合
今日は、平方完成のやり方と問題の解き方のコツについて見てみました。
ポイントは
・xの係数の半分の値をBとして
y=(x-B)2-B2
・整数の項を足す(引く)のを忘れない
・x2の係数が1以外の場合は、その数で
x2とxをくくる
・平方完成後、かっこを外すとき注意
・文字が入っても同じ
平方完成は、二次関数でも基本の段階ですが
ここをしっかりマスターしないと、その先から苦労します。
「平方完成苦手」なんて言わないで、ファイト!
おまけ問題 次の関数を平方完成しなさい
1.y=x2+4x-3
2.y=2x2+x+1
3.y=-x2+4x+5
答え
1.y=(X+2)2-7
2.y=2(x+$\frac{1}{4}$)2+$\frac{7}{8}$
3.y=-(X-2)2+9
解くと x≧150 よって 150枚以上




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