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二次関数:平方完成のやり方と問題の解き方のコツ

投稿日:2020年11月27日 更新日:

ちわっす、今日は二次関数の平方完成について見ていきます。

平方完成苦手って人結構いますよね。
これができないと、二次関数の移動とか、最大最小の問題も苦労しますね。

平方完成のやり方と実際の問題をといてマスターしましょう!

平方完成のやり方とコツ:xの係数を半分に

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=x2+6x

まずは、簡単な問題から見ていきましょう。

平方完成のやり方は、xの係数に注目します。
xの係数をAとすると、

y=x2+Ax のAの半分の数を使って平方完成

します。そして

Aの半分の数をBとすると

y=(x-B)2-B2

となります。

実際に、y=x2+6xを平方完成してみましょう。

A=6で、6の半分は3なので
上の公式に当てはめると。

y=(x-3)2-32(x-3)2-9

となります。

平方完成のやり方とコツ2:うっかりミスに注意

それでは次の問題。

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=x2+4x+5

今度はx以外に整数の項が入りました。
この場合も同じように平方完成しますが、整数の項は一旦置いておきます。

xの係数が4なので、半分の2を公式に入れると

y=(x-2)2-22(x-2)2-4

が求まります。

これを答えにしちゃうと間違いで、
ちゃんと+5を忘れないようにしましょう。

答え
y=2+4x+5(x-2)2-22+5(x-2)2-4+5
(x-2)2+1

になります。

平方完成をする際に、
いつの間にか整数の項がどっか行っちゃうというミスが多いです。

青字の平方完成の作業に、必ず整数の項を書き加えるようにしましょう!

「後から足せばいい」という方法もありますが、
整数の項を足し忘れてミスになりやすいのでお勧めしません

平方完成のやり方とコツ3:xの係数が奇数だとちょっと面倒

さて次に行きます。

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=x2+3x+1

今度は、xの係数が奇数です。3なので半分は$\frac{3}{2}$です。
同じように計算しますが、少し面倒になります。

y=(x-$\frac{3}{2}$)2-($\frac{3}{2}$)2+1=(x-2)2-$\frac{9}{4}$+1

(x-$\frac{3}{2}$)2ー$\frac{5}{4}$

となります。

分数になっても慌てずにしっかりと計算しましょう。

平方完成のやり方とコツ4:x2の係数が1じゃない時

さらに次に行きましょう。

問題 次の関数を平方完成しなさい
y=-x2+4x-8

今度は、x2の係数が1ではないケースです。
2の係数が-1です。

この時は、2とxをー1でくくります

y=-x2+4x-8=-(x2-4x)-8

ここで、( )の中を平方完成させます。

答え
y=ー((x-2)2-4)-8=-(x-2)2+4-8

-(x-2)2-4

全体を-1でくくることも出来ますが、
かっこを外すときに間違いやすいので、
2とxだけをくくった方が良いです。

もうひとつ。

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=2x2+3x+1

今度はx2の係数が2です。

これもx2とxを2でくくります
y=2(x2+$\frac{3}{2}$x)+1

xの係数が分数になってしまって、ちょっと難しく感じますね。
でも、公式通り、半分の$\frac{3}{4}$にして、落ち着いて計算します。

y=2((x-$\frac{3}{4}$)2-($\frac{3}{4}$)2)+1=2(x-$\frac{3}{4}$)2$\frac{9}{16}$+1

2(x-$\frac{3}{4}$)2ー$\frac{1}{8}$

となります。

整数項の部分を、かっこを外すときに、
を忘れないようにしましょう。

平方完成のやり方とコツ5:他の文字が入った場合

x以外の文字が入った場合もあります。

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=3x2+6x+a+1

この場合も、x2とxを3でくくります。
あとはここまでやった方法と同じで

y=3(x2+2x)+a+1
=3((x+1)2-12)+a+1
=3(x+1)2+a-2となります。
すこし計算を省略していますが、大丈夫ですね。

もう一問。

問題 次の関数を平方完成しなさい

y=x2+2ax-3

こんどは、xの係数にaがついています。
xの係数を半分にするとaなので、公式を使って

y=x2+2ax-3
=(x+a)2-a2-3

となります。

こういった文字の入った平方完成は
二次関数の最大値・最小値で出てきますので
ここでしっかりマスターしましょう。

平方完成のやり方とコツ5:他の文字が入った場合

今日は、平方完成のやり方と問題の解き方のコツについて見てみました。

ポイントは

 

・xの係数の半分の値をBとして
y=(x-B)2-B2

・整数の項を足す(引く)のを忘れない

・x2の係数が1以外の場合は、その数で
 x2とxをくくる

・平方完成後、かっこを外すとき注意

・文字が入っても同じ

平方完成は、二次関数でも基本の段階ですが
ここをしっかりマスターしないと、その先から苦労します。

「平方完成苦手」なんて言わないで、ファイト!

おまけ問題 次の関数を平方完成しなさい

1.y=x2+4x-3

2.y=2x2+x+1

3.y=-x2+4x+5

答え

1.y=(X+2)2-7

2.y=2(x+$\frac{1}{4}$)2+$\frac{7}{8}$

3.y=-(X-2)2+9

解くと x≧150 よって 150枚以上

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