二次関数の対称移動の解き方:軸や点でどうする?

寒いですね。
今日は高校数学I、二次関数の対称移動のやり方について見てみましょう!

考え方は基本的には平行移動と同じですね

もちろん、公式丸暗記でも問題ない(!)ですが、
何でもかんでも公式暗記だと大変ですよ。

目次

二次関数の対象移動、x軸y軸対称:点の移動で考えよう

二次関数の対称移動を考える時は、点の移動で考えましょう

問題

放物線y=x2-4x+3をx軸に関して対称移動した放物線の式を求めなさい。

点(p,q)をx軸に対称に移動すると(p,-q)になります。

pはpのままqが-q置き換わっています。

放物線をx軸に対称に移動した放物線は、元の放物線の式を
xはxのまま、yを-yに置き換えることで求められます。

-y=x2-4x+3

y=-x2+4x-3

これがx軸対称に移動した放物線の式になります。

問題

放物線y=x2-4x+3をx軸に関して対称移動した放物線の式を求めなさい。

点(p,q)をy軸に対称に移動すると(-p,q)になります。

pは-pに、qがqのまま置き換わっています。

放物線をy軸に対称に移動した放物線は、元の放物線の式を
xをーxに、yはyのままに置き換えることで求められます。

y=(-x)2-4(-x)+3

y=x2+4x+3

これがy軸対称に移動した放物線の式になります。

二次関数の対称移動:点に対する対称移動

今度は点に対称に移動した放物線の式を求めましょう。

問題

放物線y=x2-4x+3を原点に関して対称移動した放物線の式を求めなさい。

点(p,q)を原点に対称に移動すると(-p,ーq)になります。

pはーpに、qがーq置き換わっています。

放物線をy軸に対称に移動した放物線は、元の放物線の式を
xをーxに、yをーyに置き換えることで求められます。

ーy=(-x)2-4(-x)+3

y=ーx2ー4xー3

これが原点対称に移動した放物線の式になります。

二次関数の対称移動:応用問題に挑戦

今度は少し難しくします。

問題

放物線y=x2-4x+3を点(1,2)に関して対称移動した放物線の式を求めなさい。

点の対称移動を思い出しましょう。

点(x,y)を点(a,b)に関して対称移動した点(X,Y)
には、

点(x,y)と点(X,Y)の中点が、点(a,b)

という関係がありました。

(x+X)/2=a、(y+Y)/2=b

で、この式は

X=2aーx、Y=2b-yと変換できます。

今回の問題では点(1,2)なので、

X=2ーx、Y=4-yとなります、

y=x2-4x+3の

xを2-x、yを4-xに置き換える

4ーy=(2-x)2-4(2-x)+3
=4ー4x+x-8+4x+3
=x-1

ーy=x-5 両辺にー1をかけて

y=-x+5   が答えです。

合わせ技の問題もあります

問題

放物線y=x2-4x+3を
x方向にー1、y方向に2平行移動した後
x軸に関して対称移動した放物線の式を求めなさい。

今度は、平行移動+対称移動の問題です。

x方向にー1、y方向に2平行移動
xをx+1、yをy-2に置き換え

x軸に対称移動
xをx、yをーyに置き換え

する操作を順番にします。

y=x2-4x+3

xをx+1、yをy-2に置き換える

y-2=(x+1)2-4(x+1)+3
=x+2x+1-4xー4+3
=x-2x+4

y=x-2x+6

次に、xはxのまま、yを-yに置き換える

ーy=x-2x+6

y=ーx+2xー6 答え

二次関数の対称移動:まとめ

今日は高校数学I、二次関数の対称移動のやり方について見てみました。

対称移動するときは

x軸対称:xはxのまま、yはーyに置き換え
y軸対称:xはーxに、yはyのままに置き換え
原点対称:xはーxに、yはーyに置き換える

ことを学びました。
このように、置き換えで考えると分かりやすいと思います。

またね。

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