数学A・約数と倍数:倍数の判定法、素因数分解とルートを使う問題

今日は数学A約数と倍数の解き方を極めよう!その1です。

約数の個数と総和の問題や倍数の問題

数学A苦手!って人には結構厳しいと聞きますね、

まずは、倍数の判定法と素因数分解から見ていきましょう

そして、ルートを使う問題もしっかりと見ていきますよ。

目次

数学A 約数と倍数:倍数の判定法

まずは、倍数の判定法についてみていきましょう

倍数の判定法

2の倍数:偶数

5の倍数:一の位が5か0

4の倍数:下2桁が4の倍数

3の倍数:各位の数の和が3の倍数

9の倍数:各位の数の和が9の倍数

この倍数の判定法は、しっかりマスターできていますか?

これを利用すれば

6の倍数:偶数かつ、各位の和が3の倍数


15の倍数:一の位が0か5でかつ、各位の和が3の倍数

といった組み合わせをすることもできます。

そして、覚えておくとよいもう一つ

8の倍数:下3桁が8の倍数

これは、「4の倍数が下2桁が4の倍数」の応用になります。
1000が8の倍数なので、下3桁が8の倍数なら8の倍数です。

問題を解いてみましょう。

問題

1)4桁の自然数 5〇34が9の倍数であるとき
  〇の中に入る数を求めなさい。

2)4桁の自然数 362〇が8の倍数であるとき
  〇の中に入る数を求めなさい。

答え

1)9の倍数なら各位の和が9の倍数になる
 5+3+4+〇=12+〇

12+〇が9の倍数になるには
12+〇=18 すなわち

〇=6 になる。

2)8の倍数なら下3桁が8の倍数になる
したがって、62〇が8の倍数。

まず620を8で割ると、77余り4

従って、4を足した、624が8の倍数

よって〇=4

素因数分解:素数を小さい数から割る

次に素数と素因数分解についてみてみましょう

素数:2以上の自然数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数
2,3,5,7,11,13,17,19,23・・・

素因数分解:自然数を素数だけの積の形であらわすこと
素数、2,3,5・・・・で次々に割る。

ここで大事なポイントをいくつか

・1は素数ではない

・15,21も慌てると素数だと勘違いしてしまう

・素因数分解をする場合は、必ず小さい素数から順に割る

「1は素数?」「1はなぜ素数ではないのか?」と調べると、いろいろな解説が出てきます。

1を素数と定義してしまうと、

すべての自然数は1の倍数になってしまう

素因数分解をすると、延々と1で割れることになる

ので、1は素数に含めないような定義にしたと思います。

素因数分解の問題の解き方

それでは問題を見てみましょう。

問題 次の数を素因数分解しなさい。

1)96

2)495

3)2940

答え

1)96=23×3

96は2で3回3で1回割れました。

2)495=32×5×11

下一桁が5の場合、まず5で割ってみたくなりますが、ちゃんと小さい数字から割っていくようにしましょう!

3)2940=22×3×5×7

このように、因数が4つもあるケースもあります。

しっかりと、2で割って、3で割って、と順番に割っていけばだいじょうぶです。

素因数分解を用いた応用問題:ルートを使う問題

それでは、応用問題に行きます

少し見にくくてごめんなさいね。

答え:

1)

756nは 「756×n」 という意味です。

たまに、756▢と勘違いする人がいますので要注意です。

756を素因数分解します

756=22×33×7 となります。

√756×nが自然数になるには、756×nがNという形で表現できる必要があります。

そのためには、因数Aの「A」のxが偶数になるようにすればいいことになります。

そして、「最小の自然数」となっていますので、

各因数が、偶数乗でかつ一番小さくなるようにします。

22×33×7から各因数が偶数乗でかつ最小にするには

22×34×72となります。

元の数に3×7をすればいいので

n=21 答え

もうすこし問題を見てみましょう。

類題:√168nが自然数になる

 最小な自然数nを求めなさい

答え:

168=23×3×7

各因数が偶数乗で最小になるのは

24×32×72 のとき

元の数に2×3×7をすればいいので

n=42 答え

素因数分解を用いた応用問題:ルートを使う問題2

それでは、応用問題のつづきに行きます

答え:

1)

360を素因数分解します。

360=23×32×5 です。

これをnで割った時に、Nという形で表現できる必要があります。

さっきの問題と同じように、各因数の偶数乗になればよいのですが

今回はゼロ乗でもOKという違いがあります。

すると

22×32×50 (2×5で割った場合)
22×30×50 (2×32×5で割った場合)
20×32×50 (23×5で割った場合)
20×30×50 (23×32×5で割った場合)

4通りが考えられます。

よって、答え

n=10、40、90、360 

となります。

もうすこし問題を解いてみましょう。

類題:

答え:

240=24×3×5

nで割った時に各因数の偶数乗になればよいので

24×30×50

22×30×50

20×30×50

の3通りが考えられる。

上から、3×5、22×3×5、24×3×5で割った場合なので、

n=15、60、240

数学A整数:倍数の判定・素因数分解・ルートの問題まとめ

今日は数学A整数の性質

倍数の判定法と素因数分解さらにルートを使う問題についてみてきました。

ポイントは

・倍数の判定は判定法をマスターする。
 6の倍数や15の倍数は組み合わせる

・素因数分解は2から順に割っていく

ルートの問題は、
 各因数の偶数乗になるようにかけたり割ったりする

になります。

それでは、教科書を見直しながら学校からもらった問題集の宿題を頑張ってみてください。

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