数学A・整数・約数:等式を満たす整数x,yの組の解き方を簡単に解説

今日は数学A約数と倍数の解き方を極めよう!その2です。

今日は等式を満たす整数x,yの組の解き方についてみていきます。

約数なら分かるけど、文字式になるとなんだか分かりにくくなりますよね。

試験では先生がわざと分かりにくい問題作ったりして・・

そんな、等式を満たす整数x,yの組の解き方、問題を解きながら解説していきまあす!

目次

数学A・整数:等式を満たす整数x,yの組の解き方1

まずは、基本から

問題 次の等式を満たす、整数x、yの組をすべて答えなさい。

1)xy=5

2)(x+2)(yー1)=ー7

答え

1)xとyをかけて5になる組み合わせなので

(1,5)(5、1)(-1、-5)(-5、-1)

2)この場合も同じように考えればいいのですが

x+2=X y-1=Yと置き換えて考えるのでしたね。

XとYをかけて-7になる組み合わせを考えると

(1、-7)(-1、7)(7、-1)(-7、1)の4つ

x=Xー2、y=Y+1なので、

(-1、-6) (-3、8) (5、0) (-9、2)が答え

かけた場合に〇〇になるX,Yの組を考える

これがとても大切になります。

数学A・整数:等式を満たす整数x,yの組の解き方2

それでは、もうすこし難しい問題に行きましょう。

問題 次の等式を満たす、整数x、yの組をすべて答えなさい。

3)xy-4x+y=2

4)xy-x-5y=0

このように、カッコでくくってない場合は

(x+a)(y+b)=c

の形に変形する必要があります。

3)まず、xの項からくくって

(y-4)x+y=2

両辺にー4して

(y-4)x+yー4=2ー4=-2

y-4でくくって

(y-4)x+(y-4)=-2

(y-4)(x+1)=-2

x+1=X、y-4=Yとおいて

XY=-2を満たすXYの組

(1、-2)(-1、2)

(2、-1)(-2、1)

の4つ

x=X-1、y=Y+4 なので

答え
(0、2)(-2、6)
(1、3)(-3、5)

4)こんどは、yの係数が1ではないので少しめんどくさいですね。

まずxの項をくくって

(yー1)xー5y=0・・①

y-1を作りたいので

ー5(y-1)=-5y+5

①の両辺に5を足して

(yー1)xー5y+5=5

y-1でくくって

(yー1)xー5(y-1)=5

(y-1)(x-5)=5 になる。

xー5=X、y-1=Yとおいて

XY=5を満たすXYの組

(1、5)(-1、ー5)

(5、1)(-5、ー1)

の4つ

x=X+5、y=Y+1 なので

答え
(6、6)(4、ー4)
(10、2)(0、0)

こういうパターンの問題の場合は

(x+a)(y+b)=c

の形に変形する必要があります。

式の変形の仕方を少し詳しく書いてみました。

少し、数学Iの内容みたいですね。

置き換えと戻すところを間違えないように

大事なのは落ち着いて解くことですね。

数学A・整数:等式を満たす整数x,yの組の解き方3

それでは練習問題です。

問題 

5)次の等式を満たす、整数x、yの組をすべて答えなさい。

(xー1)(y+2)=6

6)次の等式を満たす、自然数x、yの組をすべて答えなさい。xy-2xー3y=3

答え

5)

xー1=X y+2=Yと置き換えて考えるのでしたね。

XとYをかけて6になる組み合わせを考えると

(1、6)(-1、-6)(2、3)(-2、-3)

(3、2)(-3、-2)(6、1)(-6、-1)の4つ


x=X+1、y=Y-
2なので、

答え

(2、4)(0、-8)(3、1)(-1、-5)

(4、0)(-2、-4)(7、-1)(-5、-3)

このように、答えがたくさんある場合もあります。

6)xy-2xー3y=3

x(y-2)ー3y=3

両辺に6を足して

x(y-2)ー3y+6=9

x(y-2)ー3(yー2)=9

(xー3)(yー2)=9

xー3=X、y-2=Yとおいて

XY=9を満たすXYの組

(1、9)(-1、ー9)

(3、3)(-3、ー3)

(5、1)(-5、ー1)

の6つ

x=X+3、y=Y+2 なので

x、yの組は

(4、11)(2、ー7)

(6、5)(0、ー1)

(8、3)(-2、1)

の6つ

x、yは自然数なので、

答え
(4、11)(6、5)
(8、3)

このように、「自然数」という条件で、解を絞るケースもあります。

数学A・整数:等式を満たす整数x,yの組の解き方まとめ

今日は数学A整数の性質

等式を満たす整数x,yの組の解き方についてみてきました。

ポイントは

(x+a)(y+b)=cの形に変形する

・かけた場合に〇〇になるX,Yの組を考える

xやyをX、Yに置き換えて解く

・自然数などの縛りがある場合は注意

・落ち着いて解く

になります。

また、この後、似たような問題で

「不定方程式」が出てきます。

区別の仕方としては、xyがある場合はこっち

というところでしょうか?

でも、xyが無い場合もありますが、

まずはこのレベルをしっかり固めてからにしましょう!

その他の数学A・数学Iのコツもチェック!

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