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数学の勉強法 高校受験

中3数学、式の展開についてしっかり復習しよう!

投稿日:2019年5月16日 更新日:

個太郎塾青砥教室です。中間試験も終わってテストも返ってきたと思います。
結果はいかがだったでしょうか?青砥教室の生徒さんでは数学が30点近く上がって88点!の生徒さん、英語が25点アップした生徒さんなど、うれしい報告も聞いています。。

今回は、ちょうど試験範囲になった、中3数学の式の展開について復習をしてみましょう。次の因数分解をしっかり理解するためにも展開を抑えておきましょう。

まずは単項式、多項式について復習から

まず展開から見てみましょう。
の、前に

単項式と多項式について確認しましょう。
数学の用語ですが、単項式と多項式、ごっちゃまぜになって区別ができなくなったりしませんか?

単項式と多項式の違いを簡単に書くとこうなります。

単項式:数と文字をかけ算 してでできた式
例えば、「1」これも単項式です。他にも3x,50y,も単項式です。

数と文字を掛け合わせたものなので、xy,5yzといった文字が2つ以上掛け合わさった場合も単項式です。
これ「文字が2つ以上だから多項式?」と勘違いしないようにしましょう。

xy2とか5x3yのように、2乗や3乗が入っても単項式です。
「135ab2cdh2x3z」これだって単項式です。

多項式:単項式を足し算(または引き算)してできた式
例えば、x+1は「x」と「1」という2つの単項式の足し算なので多項式です。
2x+y,xy+3z のように文字が含まれた単項式の足し算もあります。
x-5z,やx2-10のように、引き算の場合もあります。

また、x+y+z,x2+5y+15z+5のように3つ以上の単項式を足し算しても多項式ですし、x+y-3zのように、足し算と引き算が両方あっても多項式です。
「a+3b2+bc+defg+xy2z+1000」,これも多項式です。

タコを掛けても単項式、タコを足したら多項式

展開の基本は分配法則

展開とは「カッコを開く」ことです。カッコを開くときには分配法則を使います。
例1)3(x+2)
=3×x+3×2=3x+6
このように、3をxと+2の両方に掛け算してあげます。

例2)(x+1)(y+3)
=x×y+x×3+1×y+1×3
=xy+3x+y+3
この場合は、まずxをyと+3の両方に掛け算して、次に+1をyと+3に掛け算していきます。

例3)(x+1)(x+3)
=x×x+x×3+1×x+1×3
=x2+3x+x+3
=x2+4x+3
例2と同じ手順ですが、3xとxは同類項なので足して4xにします。
慣れるまでは、2番目の式を飛ばさないようにしっかりと順番に書きましょう。
別に暗算しても、式の数を少なくしても点数が上がるわけではありません。ていねいに説きましょう。

展開の4つの基本公式を覚えよう!

展開について勉強していくと、まず4つの公式が出てきます。

・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
・(x+a)2=x+2ax+a
・(x-a)2=x-2ax+a
・(x+a)(x-a)=x-a

まず1番目の公式を見てみます。
(x+a)(x+b)
=x+ax+bx+ab
=x+(a+b)x+abとなります。
分配法則を利用して展開しています。

2番目以降の式は、この1番目の式の応用になります。

(x+a)2=(x+a)(x+a)
=x+ax+ax+a
=x+2ax+a

(x+a)2=(x+a)(x+a)
=x+ax+ax+a
=x+2ax+a

(x-a)2=(x-a)(x-a)
=x-ax-ax+a
=x-2ax+a

(x+a)(x-a)
=x+ax-ax-a
=x-a

公式ですので、4つとも覚えることが良いです。
覚えておくと、途中の計算式が要らなくなりますので、計算がぐっと楽になります。

展開の応用、置き換え

それでは、もう少し複雑なものを見てみましょう。

例4)(a+b+c)(x+y)
=ax+ay+bx+by+cx+cy

例5)(a+b+c)(x+y+z)
=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz

項の数が増えましたが、分配法則に従って展開すればOKです。
ここで展開するときにできる項の数についてみてみます

・項が2つの多項式同士の展開
 展開後の項の数=2×2=4
・項が2つの多項式と項が3つの多項式の展開
 展開後の項の数=2×3=6
・項が3つの多項式同士の展開
 展開後の項の数=3×3=9

という風に、展開前と後の項の数には関係があります。

項が3つの多項式を展開するときは、展開後の項の数があってるか確認するのも計算ミスしないために大切です。

例6)(x+y+5)(x+y+3)
この場合も普通に展開すると、項が9個出来てきて、それを同類項同士を足し算して答えを求めます。

(x+y+5)(x+y+3)
=(x2+xy+3x+xy+y2+3y+5x+5y+15)
=x2+2xy+y2+8x+8y+15

となります。ここで、x+y=Aとおきかえて展開することもできます。

(x+y+5)(x+y+3)
(A+5)(A+3)
=A2+5A+3A+15
=A2+8A+15
=(x+y)2+8(x+y)+15
=x2+2xy+y2+8x+8y+15

となります。
この例題では、置き換えてもそれほど手間が変わらないような感じもしますが、置き換えた方が計算が楽になる場合もあります。
別に、必ず置き換えをしなくてはならないわけではないのでていねいに分配法則を使ってもOKです。

展開のまとめとポイント、計算ミスしないように

展開についてみてみました。

・分配法則を用いる

・2つの項の多項式の場合、展開の公式がある

・3つ以上の項の多項式の展開の場合、置き換えをすると楽な場合がある

まとめると、このような感じですが、大事なのは

・丁寧に分配して展開する

・同類項をまとめる際に、式を飛ばさないで丁寧に

・むりに急いで計算しない

ことを念頭に置いて展開すると、ケアレスミスもなくなります。
都立入試では展開の問題が1問出ます。5点分です。
ケアレスミスで-5点は、とても大きいです。
しっかりと展開の復習をしておきましょう!

個太郎塾青砥教室指導の流れ 中学生編

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