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高校数学I・式と計算:因数分解、試験で解いておきたいこの1問

投稿日:2019年5月18日 更新日:

そろそろ高校でも中間試験が始まります。
高校1年生は初めての高校での試験、出だし良くいい点を取りたいですよね。

今日のテーマは数学I、名付けて「因数分解解いておきたいこの1問」試験に出たらサクッと解いて周りに差をつけたい1問についてお話しします。

X4+4 どうやって因数分解すればいいの?

それでは、解いておきたいこの一問

「x+4 を因数分解しなさい」

さあ、どうでしょうか?

-4なら、xをtとおいて、(t+2)(t-2)になって因数分解できるけど、+4? -の間違いなんじゃないの?
って思って解けなくなってしまいませんか?
この問題は、因数分解の定番の応用問題なのです。

解き方

をtとおいて  t2+4 にします。
  t2+4 にしても、因数分解できないですね。
ここで、無理やり平方を作ります
  t2+4t+4であれば、(t+2)2になります。
そこで、4tを足して引いてやります。

2+4 +4t-4t=(t+2)2-4t 
ここで、tをxにもどして、
(x+2)2-4x
これなら、和と差の積の因数分解公式で因数分解できます。
(x+2)2-4x
=(x+2+2x)(x+2-2x)
=(x+2x+2)(x-2x+2)

無事因数分解ができました。
をtに置き換えずに解いてもOKです。

このように無理やり平方を作ることで次に和と差の積の因数分解に持っていく問題、数学の先生が中間試験の問題を作るときに、「ちょっと難しい問題を入れよう」、と思った場合にピッタリなのです。

もしも中間試験に出た場合にはしっかり解けるようにしておくと+5点周りに差が付きます。

これも解いておきたい、X4+4 の因数分解の類題

+4の因数分解と同じ方法で解ける類題をいくつか解いてみましょう。

1.x+4yを因数分解しなさい

2.x4-6x+1を因数分解しなさい

 

さあ、解けましたか?

 

解答

1.x4-4y+4x22-4x22
=(x2+2y)2-4x22

=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)

これは、さっきのx+4の因数分解とほぼ同じやり方でできました。

2.x4-6x2+1
=x4-2x2+1-4x2
=(x2-1)2-4x2
=(x2-1+2y2)(x2-1-2y2)
=(x2+2y2-1)(x2-2y2-1)

今度は、すこしひねってあります。
をtとおいて、t2+6t+1で、あれ、因数分解できないから、解の公式で(t+3+2√2)(t+3-2√2)なんてやっちゃうと、ハマってしまいます。
これも上の解答例のように、無理やり平方をつくる作戦で解けます。


最後に

数学Iの初めの因数分解ですが、これから始まる数学の入り口です。
ここで、気持ちよくいい点を取れると、数学に自信が付きます
そして、いい点とれると高校生活も幸先よく、楽しい高校生活が送れることでしょう。
頑張って試験に臨んでください。

 

おまけ類題

2.x4-7x+1を因数分解しなさい

 

 

 

答え

(x2+3y2+1)(x2-3y2+1)

-大学受験, 数学の勉強法, 高校

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