都立高校受験応援ブログ

都立高校受験に役立つ情報を発信します。高校情報、勉強法など。無料相談も受け付けています。

大学受験 数学の勉強法 高校

場合の数:数字を並べる問題を制覇して数字王になろう!

投稿日:2019年5月19日 更新日:

個太郎塾青砥教室です。
もう、月曜から中間試験という高校もありそうです。
今日は、高校数学A、場合の数を取り上げます。

場合の数の問題では数字の書いたカードを並べる設定の問題がよく出ます。定期テスト、模試、入試の対策になるよう、まとめてみました。
がっちりマスターして、数字王になろう!

数字王への道1:「0」を含むカードで数字を並べる問題は要チェック!

数字の書いたカードを並べて数を作る問題、よくあります。
まずは、簡単な問題から見ていきます。

1,2,3,4,5と書いた札が1枚ずつある。

(1)2

3枚をとって並べて3桁の数を作ると何通りできるか?
(2)4枚をとって並べて4桁の偶数を作ると何通りできるか?

 

これなら簡単にできますね。

 

解答
(1)5×4×3=60 60通り

100の位、10の位、1の位と順にカードを引くと考えると、100の位、10の位、1の位と順に引けるカードの数は、5枚、4枚、3枚となるので順に掛け算するだけですね。

(2)2×4×3×2=48通り

この場合はまず、1の位から考えます、1の位には2または4の2枚、1000の位は1枚引いた後の4枚、以下3,2となり、それを掛け算した数になります。

応用問題として、よくあるのは以下のようなケースです。

0,1,2,3,4,5と書いた札が1枚ずつある。

(3)3枚をとって並べて3桁の数を作ると何通りできるか?
(4)4枚をとって並べて4桁の偶数を作ると何通りできるか?

さっきと異なるのは0があることです。3桁の数、4桁の数、どっちを作る場合でも、1番大きい位には0は入りません。それによって解き方が少し複雑になります。

解答

(3)5×5×4=100 100通り

100の位、10の位、1の位と順にカードを引くと考えると、一番大きい100の位には6枚のうち、0以外の5枚、10の位には0も含めて5枚、1の位に4枚となるので順に掛け算して求めます。

(4)1×5×4×3+2×4×4×3=156通り

この場合は前の問題の偶数のときと同じで、1の位から考えます、1の位には0,2,4の3枚が偶数として考えられます。ただし、ここでちょっと場合分けが必要になります。

0を引いた場合、1000の位には残りの5枚から、100の位は4枚から、10の位は3枚から引くので1×5×4×3=60通りになります。

2,4を引いた場合、1000の位には残りの5枚のうち0以外の4枚から、100の位は0も含んだ4枚から、10の位は3枚から引くので2×4×4×3=96通りになります。

このように、数字の書いたカードを並べて数を作る問題の場合、カードに0が含まれていると場合の数を求める時に少し複雑になります。いかにも試験に出そうな問題になります。

数字王への道2:並べた数字にこだわる問題も要チェック!

数字を並べて4桁の偶数を作るという問題を解きましたが、並べた数にこだわった問題もよくある問題です。見てみましょう

5個の数字1,2,3,4,5を1度ずつ使って3桁の整数を作る。次の様な整数はいくつ作れるか?答えなさい

(5)330よりも大きい数

(6)少なくとも1つ桁に1を含む数

 

解答

(5)1×2×3+2×4×3=30通り

100の位で場合分けして考えます。100の位が3の場合、10の位は4,5の2通り、1の位は制限がなく残りの3個からどれでもよい。1×2×3=6通り100の位が4,5の場合、どの数字でも330以上ですので、10の位、1の位に制限はなく4通り、3通りになる。2×4×3=24通り合わせて30通りになる。

(6)1×4×3+4×1×3+4×3×1=36通り

1を含む整数を各位で場合分けする
1×4×3=12:100の位が1
4×1×3=12:10の位が1
4×3×1=12:1の位が1
合わせて36通り

このように、数字にこだわる問題は、解く側もこだわって解きましょう。(笑)

(5)のように、並べた数字の大きさにこだわる場合は、1番大きな位の数にこだわります。今回の問題は320より大きいだったので、実際には341以上の数が該当しました。100の位が4,5の場合はすべてが当てはまりますが、100の位が3の場合は、当てはまらないものもあります。そこをしっかりと見極めてこだわります。

(6)のように、並べた整数の中に含まれる数にこだわるような問題もあります。この場合、特定の数がどの位に含まれるかで場合分けします。(6)には、以下のような別解もあります。

(6)の別解 

1を含まない場合を考えて全体から引きます。
全体 5×4×3=60通り
1を含まない3桁の数字を作る場合、2,3,4,5の4枚で3桁の数字を考えればよいので、4×3×2=24通り
よって、1を含まないのは60-24=36通り

別解のように全体から「含まない」場合を引いて求めるという解き方もあります。実は、こっちの方が確実な解き方になります。たとえば以下のような問題の場合は「含まない」を考えた方が早いです。

(7)3桁の整数のうち、少なくとも1つの桁に1を含むものはいくつあるか?答えなさい。

「含まない」で解く場合

3桁の数は全部で900個。
1を含まない数は100の位は0,1以外の8通り、10の位と1の位は1以外の9通り
8×9×9=648個
よって、1を含む数は900-648=252個

「含む」で解く場合

100の位に1を含む場合:10の位、1の位は何でもよいので
1×10×10=100個

100の位に1を含まず、10の位に1を含む場合:100の位は0,1以外、1の位は何でもよい
8×1×10=80個

1の位にのみ1を含む場合:100の位は0,1以外、10の位は1以外
8×9×1=72個

3つを足して100+80+72=252個

どちらでも解くことはできますが、「含まない」場合で解いた方が計算間違いをする可能性が低くおススメです。

数字王への道3:さらに数字にこだわった問題にもチャレンジ!

数字を並べる問題は、作る人がこだわることでさらにいろいろと面白い?解きにくい?問題にすることができます。

こういう問題もあります。

5個の数字1,2,3,4,5を1度ずつ使って3桁の整数を作る。

(8)3の倍数になるものは何通りか?

(9)9の倍数になるものは何通りか?

(10)6の倍数になるものは何通りか?

まず、(8)です。ここでは、「3桁の自然数で、3の倍数は各位の和が3の倍数である」という性質を利用します。

1,2,3,4,5で、3つを足すと3の倍数になる組み合わせは{1,2,3}{1,3,5}{2,3,4}{3,4,5}の4つがあります。それぞれから出来る3桁の整数は3×2×1で6通りあるので、全部で6×4=24通りとなります。

(9)も同様で、今度は「9の倍数は各位の和が9の倍数である」という性質を使います。すると、{1,3,5}{2,3,4}の2つの組み合わせが見つかります。それぞれから出来る3桁の整数は3×2×1で6通りあるので、全部で6×2=12通りとなります。

(10)は少し応用になります。6の倍数ということは、3の倍数でかつ2の倍数です。3の倍数になる組み合わせは{1,2,3}{1,3,5}{2,3,4}{3,4,5}から、偶数になる組み合わせを求めます。{1,2,3}の場合、1×2×1=2通り、{1,3,5}の場合0通り、{2,3,4}の場合、2×2×1=4通り、{3,4,5}の場合、1×2×1=2通り、合計8通りになります。

こういった、数字を並べる問題と、数の性質と組み合わせたパターンは、この3つなので、覚えておくと良いと思います。

数字王への道まとめ:数けがれなく道けわし

今回、場合の数のなかで、数字を並べる問題について、試験によく出るような応用問題について取り上げました。

いくつかの問題パターンと解き方について説明しました。
この解き方をマスターすれば、「数字王」とまではいかなくても「数字王子」くらいにはなれると思います。

数字王になって、伝説のお宝を欲しい人は是非個太郎塾青砥教室までお越しください。

個太郎塾高校コースの説明

-大学受験, 数学の勉強法, 高校

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)

関連記事

英語長文は読まなくても解けるって本当?英語長文勉強法1

個太郎塾青砥教室です。今日は、英語長文の勉強法について触れたいと思います。 「英語長文は、全部読まなくても解ける」っていう話、聞いたことありませんか?ネットで英語長文の勉強法を調べると、よく目にするフ …

共通テストの採点に大学生のバイト認める?その理由と問題点は?

最近、いろいろとドタバタ感を感じる情報が多く出ている、大学入試「共通テスト」、英語の民間試験からTOEICが撤退という情報に続き、またも???という情報が明らかになりました。共通テストのなかの記述式問 …

試験に出やすい数A:場合の数の問題のコツ

個太郎塾青砥教室っす。今日は、有名中高一貫校に出そうな試験問題を解いて、コツを学ぼう!第1弾:数A(場合の数)編です。多分、公立の高1生はとても参考になると思います。それではレッツGo! 目次1 集合 …

国立大13校、英語「中卒程度」で出願可?その意図は?

個太郎塾青砥教室です。今日のニュースに 国立大13校、英語「中卒程度」で出願可 民間試験活用に疑問 という記事がありました。 「2020年度に始まる大学入学共通テストに導入される英語の民間資格・検定試 …

英語長文が苦手な人がやってはダメな勉強法って何?

個太郎塾青砥教室です。今回も英語長文の勉強法について触れたいと思います。単語?構文?音読?何が重要でしょうか? 「英語長文が苦手」っていう人は多いです。一体どういう勉強をすればいいのでしょうか?正解は …