もう、月曜から中間試験という高校もありそうです。
今日は、高校数学Ａ、場合の数を取り上げます。
場合の数の問題では数字の書いたカードを並べる設定の問題がよく出ます。定期テスト、模試、入試の対策になるよう、まとめてみました。
がっちりマスターして、数字王になろう！
数字王への道１：「０」を含むカードで数字を並べる問題は要チェック！
数字の書いたカードを並べて数を作る問題、よくあります。
まずは、簡単な問題から見ていきます。
１，２，３，４，５と書いた札が１枚ずつある。
（１）３枚をとって並べて３桁の数を作ると何通りできるか？
（２）４枚をとって並べて４桁の偶数を作ると何通りできるか？
これなら簡単にできますね。
解答
（１）５×４×３＝60 60通り
100の位、10の位、1の位と順にカードを引くと考えると、100の位、10の位、1の位と順に引けるカードの数は、５枚、４枚、３枚となるので順に掛け算するだけですね。
（２）２×４×３×２＝48通り
この場合はまず、１の位から考えます。
１の位には２または４の２枚、1000の位は１枚引いた後の４枚、以下３，２となり、それを掛け算した数になります。
応用問題として、よくあるのは以下のようなケースです。
０，１，２，３，４，５と書いた札が１枚ずつある。
（３）３枚をとって並べて３桁の数を作ると何通りできるか？
（４）４枚をとって並べて４桁の偶数を作ると何通りできるか？
さっきと異なるのは０があることです。３桁の数、４桁の数、どっちを作る場合でも、１番大きい位には０は入りません。それによって解き方が少し複雑になります。
解答
（３）100の位、10の位、1の位と順にカードを引くと考える。
100の位には６枚のうち、０以外の５枚、
10の位には０も含めて５枚、
1の位に残りの４枚
となるので順に掛け算して求めます。
５×５×４＝100 100通り
（４）
この場合は前の問題の偶数のときと同じで、１の位から考えます。
１の位には０，２，４の３枚が偶数として考えられます。ただし、ここでちょっと場合分けが必要になります。
０を引いた場合、
1000の位には残りの５枚から、
100の位は4枚から、
10の位は３枚から引く
ので１×５×４×３＝60通りになります。
２，４を引いた場合、
1000の位には残りの５枚のうち０以外の４枚
100の位は０も含んだ4枚から、
10の位は３枚から引く
ので２×４×４×３＝96通りになります。
二つを足して60＋96＝156通り
このように、数字の書いたカードを並べて数を作る問題の場合、カードに０が含まれていると場合の数を求める時に少し複雑になります。
いかにも試験に出そうな問題になります。
数字王への道２：並べた数字にこだわる問題も要チェック！
数字を並べて４桁の偶数を作るという問題を解きましたが、並べた数にこだわった問題もよくある問題です。見てみましょう
５個の数字１，２，３，４，５を１度ずつ使って３桁の整数を作る。次の様な整数はいくつ作れるか？答えなさい
（５）330よりも大きい数
（６）少なくとも１つ桁に１を含む数
解答
（５）100の位で場合分けして考えます。
あ）100の位が3の場合、
330以上なので
10の位は４，５の２通りです。
1の位は残りの３個からどれでもよい
よって１×２×３＝６通り。
い）100の位が４，５の場合、
どの数字でも330以上ですので、
10の位、１の位に制限はなく
それぞれ、４通り、３通りになる。
２×４×３＝24通り、
あ）とい）を合わせて30通りになる。
（６）１を含む整数を各位で場合分けすると
１×４×３＝12通り・・100の位が１
４×１×３＝12通り・・10の位が１
４×３×１＝12通り・・１の位が１
合わせて36通り
このように、数字にこだわる問題は、
解く側もこだわって解きましょう。(笑)
（５）のように、並べた数字の大きさにこだわる場合は、１番大きな位の数にこだわります。
今回の問題は330より大きいだったので、実際には341以上の数が該当しました。
100の位が４，５の場合はすべてが当てはまりますが、100の位が３の場合は、当てはまらないものもありました。
そこをしっかりと見極めてこだわります。
（６）のように、並べた整数の中に含まれる数にこだわるような問題もあります。
この場合、特定の数がどの位に含まれるかで場合分けします。
（６）には、以下のような別解もあります。
（６）の別解は余事象を用いる考え方です。
１を含まない場合を考えて全体から引きます。
全体 ５×４×３＝60通り
１を含まない３桁の数字を作る場合、２，３，４，５の４枚で３桁の数字を考えればよいので、４×３×２＝24通り
よって、１を含まないのは
60－24＝36通り
別解のように全体から「含まない」場合を引いて求めるという解き方もあります。実は、こっちの方が確実な解き方になります。たとえば以下のような問題の場合は「含まない」を考えた方が早いです。
（７）３桁の整数のうち、少なくとも１つの桁に１を含むものはいくつあるか？答えなさい。
「含まない」で解く場合
３桁の数は全部で900個。
１を含まない数は100の位は０，１以外の８通り、10の位と１の位は1以外の９通り
８×９×９＝648個
よって、１を含む数は900－648＝252個
「含む」で解く場合
100の位に1を含む場合：10の位、1の位は何でもよいので
１×10×10＝100個
100の位に1を含まず、10の位に1を含む場合：100の位は０，１以外、1の位は何でもよい
８×１×10＝80個
1の位にのみ1を含む場合：100の位は０，１以外、10の位は１以外
８×９×１＝72個
３つを足して100+80+72＝252個
どちらでも解くことはできますが、「含まない」場合で解いた方が計算間違いをする可能性が低くおススメです。
数字王への道３：さらに数字にこだわった問題にもチャレンジ
数字を並べる問題は、作る人がこだわることでさらにいろいろと面白い？解きにくい？問題にすることができます。
こういう問題もあります。
５個の数字１，２，３，４，５を１度ずつ使って３桁の整数を作る。
（８）３の倍数になるものは何通りか？
（９）９の倍数になるものは何通りか？
（10）６の倍数になるものは何通りか？
（８）です。
ここでは、
「３桁の自然数で、３の倍数は各位の和が３の倍数である」
という性質を利用します。
１，２，３，４，５で、３つを足すと３の倍数になる組み合わせは
{１，２，３}
{１，３，５}
{２，３，４}
{３，４，５}
の４つがあります。
それぞれから出来る３桁の整数は
３×２×１で６通りあるので、
全部で
６×４＝24通りとなります。
（９）も同様で、今度は
「９の倍数は各位の和が９の倍数である」
という性質を使います。
すると、
{１，３，５}
{２，３，４}
の2つの組み合わせが見つかります。
それぞれから出来る３桁の整数は
３×２×１で６通りあるので、
全部で
６×２＝12通りとなります。
（10）は少し応用になります。
６の倍数ということは、
３の倍数でかつ２の倍数です。
３の倍数になる組み合わせは
{１，２，３}
{１，３，５}
{２，３，４}
{３，４，５}
から、偶数になる組み合わせを求めます。
（２）で解いたように
1の位が偶数になるときから数えます。
{１，２，３}の場合、
偶数になるのは
１×２×１＝２通り、
{１，３，５}の場合、
すべて奇数なので０通り、
{２，３，４}の場合、
偶数になるのは
２×２×１＝４通り、
{３，４，５}の場合、
偶数になるのは
１×２×１＝２通り
合計８通りになります。
こういった、数字を並べる問題と、数の性質と組み合わせたパターンは、この３つなので、覚えておくと良いと思います。
数字王への道まとめ：数けがれなく道けわし！
今回、場合の数のなかで、数字を並べる問題について、試験によく出るような応用問題について取り上げました。
いくつかの問題パターンと解き方について説明しました。
この解き方をマスターすれば、「数字王」とまではいかなくても「数字王子」くらいにはなれると思います。
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