今日は、有名中高一貫校に出そうな試験問題を解いて、コツを学ぼう！第1弾：数A（場合の数）編です。
多分、公立の高1生はとても参考になると思います。
それではレッツGo！
集合の要素の問題はベン図を描かずに要素で勝負
集合の要素の問題を２つ
問題１
80人の生徒に数学と英語の試験を行った。
数学の合格者は60人、英語の合格者は40人、2科目とも不合格だった人は8人だった。次の人数を答えなさい。
１．2科目とも合格した人
２．数学だけ合格した人
３．英語だけ合格した人
この時に集合の要素それぞれを求めます。
数学だけの合格者＝ａ
英語だけの合格者＝ｂ
両方の合格者＝ｃ
とおく。
数学の合格者：ａ＋ｃ＝60
英語の合格者：ｂ＋ｃ＝40
２科目とも不合格者：80－ａ－ｂ－ｃ＝8
ａ＋ｂ＋ｃ＝72
ここから ａ＝32，ｂ＝12，ｃ＝28と求まります。
よって、答えは
１．28人、２．32人、３．12人
になります。
Ａ，Ｂの２つの集合の場合、Ａだけ、Ｂだけ、Ａ∩Ｂ、ＡでもＢでもない
の４つの要素に分けられるのでそこから求めることができます。
集合の要素に分けてその数を求める手法は次の応用問題にとても有効です。
問題２
ある年のオリンピック競技に、500人が参加しました。
成績１位から３位には金，銀，銅メダルがそれぞれ渡されました。
競技によっては複数の人が同じメダルをもらうこともあった。
３種類すべて取った人はいなかったが、２種類とった人は24人いて、このうち金メダルを含む人は14人、銀メダルを含む人は15人だった。
金メダルだけを取った人は銀メダルを取った人よりも25人少なく、また、金メダルだけを取った人は、銅メダルを取った人の50％であった。
メダルを１つも取れなかった人は357人であった。以下の問に答えなさい
４．金メダルを取った人の数
５．銀メダルを取った人の数
６．銅メダルを取った人の数
この場合、集合の要素は
ａ．金メダルだけを取った人
ｂ．銀メダルだけを取った人
ｃ．銅メダルだけを取った人
ｄ．金と銀を取った人
ｅ．金と銅を取った人
ｆ．銀と銅を取った人
ｇ．メダルを取れなかった人
になります。
ここでまず、２種類メダルを取った人に着目します。
問題文より
ｄ＋ｅ＋ｆ＝24…①，ｄ＋ｅ＝14，ｄ＋ｆ＝15
よって、ｄ＝５，ｅ＝９，ｆ＝10が求まります。
次に銀メダルを取った人はｂ＋ｄ＋ｆ＝ｂ＋15
ａ－25＝ｂ+15 ａ＝ｂ+10…②
銅メダルを取った人はｃ＋ｅ＋ｆ＝ｃ+19
ａ＝（ｃ＋19）×0.5 ｃ＋19＝２ａ ｃ＝２ａ－19…③
メダルを取った人＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝500－357＝143
ここに①，②，③を代入すると、４ａ＋10－19＋24＝143
４ａ＝128 ａ＝32 ②，③より、ｂ＝42，ｃ＝45
答え
４．32人，５．42人，６．45人 となります。
このように、ベン図を書かなくても要素の数を書くことで解く方法、身に着けておくと、集合の要素の応用問題の時に力を発揮します。
多角形の頂点を結ぶ問題もしっかりと
正多角形の頂点を結んでできる図形の数もよく出ます。
問題
正八角形の8個の頂点から3個を選んで線で結び三角形を作る。この時、つぎの数を求めよ。
(１)三角形の総数
(２)正八角形と１辺を共有する三角形の個数
(３)正八角形と２辺を共有する三角形の個数
（１）は、８個の頂点から３個の頂点を選ぶ場合の数
なので
8Ｃ3＝８×７×６／（３×２×１）＝56個
（２）は、１つの辺から別の頂点を１つ結ぶ場合の数で、辺を作っている頂点と辺の隣の頂点を除く４つの頂点を選べる。これが８つの辺それぞれにあるので
８×４＝32個
（３）は、隣り合った辺、すなわち隣り合った３つの頂点を結んでできる３角形、各頂点につき１つできるので、１×８＝８個
よく見る問題ですが、しっかり場合の数を考えれば問題なく解けると思います。
さらに、
（４）対角線の本数を求めなさい
（４）対角線は、ある頂点Ａから、頂点Ａと隣の頂点２つを除いた頂点に引くことができるので、８×（８－３）＝40本、ただし、この時２つの点は重複するので40÷２＝20本になります。
正多角形の対角線の数の求め方には公式があって、
正ｎ角形の時、対角線の数：(ｎ-3)×ｎ÷２ となります。
多角形の頂点を選ぶ場合の数で難しいのは、４角形を作る場合です。
（５）４個の頂点を結んでできる４角形の総数
（６）４個の頂点を結んでできる４角形のうち１辺のみを共有するもの
（５）は、８個の頂点から４個の頂点を選ぶ場合の数なので
8Ｃ4＝８×７×６×５／（４×３×２×１）＝70個
これは普通の頂点を選ぶ場合の数ですが、（６）は少し難しいです。
（６）１つの辺から別の頂点を１つ結ぶ場合の数で、辺を作っている頂点と辺の隣の頂点を除く４つの頂点を選べる。４つの頂点から２つの頂点を選ぶとき、隣り合った点を選ぶと辺を作るので不適、従って、４つの頂点から隣り合わない２点を選ぶ選び方は３通り、これが８つの辺それぞれにあるので８×３＝24個
（６）は一見ややこしそうですが、上の図で、赤い辺を基準に4角形を作ることを考えると、隣り合わないような２点の選び方は、Ａ－Ｃ，Ａ－Ｄ，Ｂ－Ｄの３通りしかないというのは見ると分かると思います。
正多角形の頂点を選ぶ問題は図が無くてもわかりますが、ややこしくなったら図にするとよいと思います。
文字を並べる順列もコツが分かれば楽勝
問題
Ｊ，Ａ，Ｐ，Ａ，Ｎ，Ｅ，Ｓ，Ｅ の8個の文字を全部使ってできる、以下の順列について答えなさい。
（７）異なる並べ方すべて
（８）Ｊ，Ｐ，Ｎ，Ｓが連続する並び方
（９）ＪはＰより左側にあり、かつＰはＮより左側にあるような並べ方
（７）は、８個の文字で、重複している文字が、Ｅ、Ａそれぞれ２つずつ
よって、8！／（２！・２！）＝10080通り
（８）Ｊ，Ｐ，Ｎ，Ｓをひとつの塊のＸとおいて、Ｘ，Ａ，Ａ，Ｅ，Ｅの５つの文字で作る並べ方と考えるとよいので
５！／（２！・２！）＝30通り
（９）他の文字は無視して、Ｊ，Ｐ，Ｎの3つ文字だけを見ると
ＪＰＮの順に並んでいるということになります。
Ｊ，Ｐ，Ｎの３文字の並べ方は、３！＝６通り、
そのうち、Ｊ，Ｐ，Ｎの順に並ぶのは１通り
したがって、10080÷6＝1680通り
こういう並べ方の場合は、（８）や（９）のように特定の部分に着目して、塊にしたり、特定の場合の数を求めて全体から割るような手法で解ける場合が一般的です。
円順列：男４人と女４人座るときも楽勝
問題
男子４人と女子４人で円形に座る。
以下の順列について求めなさい
（10）女子が4人並ぶ並び方
（11）男女が交互に並ぶ並び方
（10）は、まず、女子を一塊にして、
「女子・男１・男２・男３・男４」
の5人で円を作る円順列を考えます。
これは（5-1）！＝24通りです。
次に女子を一塊にしましたが、
その中の女子４人の並び方が、４！＝24通り
答え：24×24＝576通り
（11）男女が交互に並ぶ並び方は以下のように考えます。
8個の円に並んだ椅子がある。
ａ．まず、男子4人が円形に座る
ｂ．男子の間に女子が座る
ａ．は４人の円順列なので（４－１）！＝６通り
ｂ．は４つの場所に女子が座るの順列なので４！＝24通り
答え：6×24＝144通り
男子が座ってからその間に女子が座る
ヤフー知恵袋も役に立つ？
有名中高一貫校の数Ａの問題を基に、試験に出やすい数Ａの問題について解説してみました。
今回の記事を作成する際に、答えがあってるか確認したくってネットで調べようとしました。すると、どの問題もヤフー知恵袋に質問があってびっくりしました。ということはこうした問題や類似問題は、定期試験に必須の問題であると考えられます。
是非しっかりとマスターしてほしいです。
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