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中3数学:平方根の計算の仕方を極めよう!掛け算・割り算も

投稿日:2019年6月11日 更新日:

いつの間にか梅雨入りしていましたね。
梅雨といえば平方根!(謎)

今日は平方根の計算の仕方、掛け算や割り算について説明します。
平方根をマスターして、「世界のヘイホー」になりましょう!

平方根って何?どうやって求める?

平方根とは何かというところからおさらいしましょう。

平方根とは「2乗するとXになる数」のことです。
例を挙げるて考えましょう。
5の2乗は25ですね。
したがって、5は25の平方根になります。

ここで問題です。
問題:16の平方根を答えなさい。

「4!!」と元気よく答えたあなた、△です。

4は確かに2乗すると16になります。
しかーし、-4も2乗すると16になります。

したがって、16の方法根は4と-4になります。
これは普通まとめて±4と表現します。

この時に、4を正の平方根、-4を負の平方根といいます。

平方根の計算のコツ!:平方数を覚えよう!

まず、平方根とは「2乗するとXになる数」のことであると学びました。
平方根には正の平方根と負の平方根があることもわかりました。

平方根の計算をする際に、覚えておくと便利なのが「平方数」です。
平方数とは、自然数の2乗で表される整数です。
さっきの16や25はぞれぞれ、4と5を2乗した平方数になります。

平方根の計算をするときにはこの平方数を覚えておくととても便利です。
平方数を小さい順に書くと

1×1= 6×6=36
2×2= 7×7=49
3×3= 8×8=64
4×4=16 9×9=81
5×5=25 10×10=100

になります。できれば15×15の平方数くらいまで覚えておくと無敵です。
覚えておくと、「64の平方根は±8」とすぐに答えられます。
このように、平方数の平方根は整数で表すことができます。

2の平方根はいくつ?3の平方根は?



さて、平方根の意味、平方数についてみてきました。

問題:2の平方根は?

1の平方根は±1です。4の平方根は±2です。
さて、2の平方根は?
1と2の間にありそうですが、整数では表せません。
分数でも表せなさそうです。

実は、この2の平方根は、1.41421356・・・・・
と、円周率のようにずっと少数が続きます。
これでは表せないので、√(ルート)という記号を使うことにしました。

2の平方根は±√2と表します。
同様に、3の平方根は±√3と表します。

このように、整数や分数で表せないような数を無理数と言います。

無理?

平方根の表し方のポイント:なるべく簡単な数にする

それでは、いろいろな数の平方根を見てみましょう!

例題:次の数の正の平方根を求めなさい。
(1)24
(2)50
(3)180

答え:
(1)は、√24 ですが、√の中をなるべく小さな自然数にします。
これを簡単にするといいます。
24は4×6です。4は2の平方数です。
よって、√(2×6)となります。
ここで、√の性質として、√の中の掛け算は分けることができます。

√(2×6)=√2×√6=2×√6=2√6と表せます。

(2)は、√50です。
一見、50を簡単にできない!と思いがちですが、25が平方数であることを思いつけば、50=25×2=5×2であることに気づきます。
√50=√(5×2)=√5×√2=5×√2=5√2と表せます。

(3)は、√180 です。180の中から平方数を見つけるの大変です。
こういう場合は180を素因数分解します。
180を素因数分解すると180=2×3×5になります。
√180=√(2×3×5)=√2×√3×√5=2×3×√5=6√5と表せます。

このように、√の中をなるべく小さな数字になるように表すのが決まりです。

平方根の足し算引き算のポイント:√の中の数字が等しい時は足し引き出来る。

今度は平方根の足し算引き算についてみてみます。

例題:次の計算をしなさい。
√3+√5

はい、これは何もできません・・・
√の中の数字が違う場合足し算出来ません。

数学の問題の場合、こういう何もできない問題は出ません。
気を取り直してもう一度

例題:次の計算をしなさい
(4)√50+√18
(5)√27-√12
(6)√12+3√3-√48

答え
(4)√の中を簡単にすると
√50=5√2,√18=3√2になります。
ルートの中の数が同じ場合は足すことができるので
√50+√18=5√2+3√2=8√2 となります。

(5)も同じように√の中を簡単にすると
√27=3√3,√12=2√3になります。
√27-√12=3√3-2√3=√3 となります。

(6)のように、足し算引き算が混ざっている場合も、ルートの中の数が同じ場合は足したり引いたりすることができるので
√12+3√3-√48=2√3+2√3-4√3=√3 となります。

平方根の足し算引き算の場合
・ルートの中の数が同じ場合は足したり引いたりことができる
・ルートの中の数が違う場合はできない
のがポイントです

だんだん分かってきた!

平方根の掛け算割り算のポイント:√の中身をそのままかけ算・割り算する!

つぎは掛け算と割り算について考えます。

例題:次の計算をしなさい
(7)3√3×2√3
(8)√50×√18
(9)4√6÷2√3

答え
掛け算割り算の場合、√の中身をそのまま掛け算割り算します。

√の外側ももちろんそのまま掛け算割り算できます。
(7)×3×2×√(3×3
   =6×√9=6×3=18

(8)√50×√18=√(50×18)=√900
   =√(3×10)=3×10=30
この問題の時、先に平方根を簡単にしてから計算することもできます。

   √50×√18=5√×3√=(5×3)√(2×2
   =15×2=30

√の中の数字が大きすぎる場合は、先に平方根を簡単にしてから計算した方が早く確実です。

(9)÷=(4÷2)√(6÷3
   =2√2

割り算苦手と感じる人は、
の外、√の中をそれぞれそのまま割り算する
という感覚を覚えてください。

平方根の計算のポイント:分数になって、分母が√の数の場合、有理化する。

平方根の割り算をしたとき、分数の形になる場合もあります。
そして、分母が√の数になる場合もあります。

その時は、有理化という方法で、分母を整数にします。
有理化は、分母と分子に同じ数をかけることで分母に平方根を含まない形に変形することで完成します。

例題 次の分数を有理化しなさい。

答え
(10)の場合、分母と分子にそれぞれ√3を掛けます。

(11)の場合、分母と分子にそれぞれ√2を掛けます。

このようにして、分母はルートを含まない数にするのが平方根の決まりになります。

平方根の計算の仕方を極めよう!まとめ

平方根についてみてきました。
まとめると

・平方根とは「2乗するとXになる数」のこと

・平方根は、√の中をなるべく小さな自然数にして表す

・ルートの中の数が同じ場合は足すたり引いたりできる

・掛け算割り算は、√の中身をそのまま掛け算割り算

・分母と分子に同じ数をかけることで分母に平方根を含まない形に変形する。

ということになります。
このポイントを覚えて平方根をマスターしましょう!

平方根を極めたければ個太郎塾青砥教室まで!

*このコラムでは、えふ3776さんによるイラストACからのイラストを使用させていただきました。

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