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数I:絶対値を使った一次方程式・不等式の解き方は簡単?

投稿日:2019年6月25日 更新日:

来週が期末試験の高校が多いと思います。
今日は苦手な人は苦手な絶対値が入った文字式について説明していきます。

絶対値の入った一次方程式は場合分けが大事

まずは問題を見てみましょう

問題:次の方程式を解きなさい

|2x-1|=3

この場合、2x-1<0の場合と、2x-1≧0の場合に分けて考えます。
2x-1≧0の時は、|2x-1|=2x-1
2x-1<0の時は、|2x-1|=-(2x-1)=1-2x
になります。

2x-1=3を解いて、x=2 
これは、2x-1≧0を満たすのでOK
1-2x=3を解いて、x=-1
これは、2x-1<0を満たすのでOK

答え:x=2,-1

このように2つの1次方程式を解くことになります。
場合分けして、2つ解くということさえわかれば難しくはないはずです。

絶対値の入った一次不等式は場合分け不要!

次行ってみよー!

問題:次の方程式を解きなさい

|2x-4|≦6

この場合、2x-4<0の場合と、2x-4≧0の場合に分けて考えます。

2x-4<0の場合、x<2である。
|2x-4|=-2x+4≦6
-2≦2x 
条件と合わせて、-1≦x<2…①

2x-4≧0の場合、x≧2である。
|2x-4|=2x-4≦6
2x≦10 x≦5 
条件と合わせて、2≦x≦5…②

①、②より、
答え:-1≦x≦5
となります。

と、これが、解き方1です。が、もっと簡単な解き方があります。

絶対値の性質を用いる解き方

c>0の時、|x|<cなら、-c<x<c

c>0の時、|x|>cなら、x<-c,c<x

これを用いると簡単になります。

|2x-4|≦6 → -6≦2x-4≦6
-2≦2x≦10
-1≦x≦5 と求められます。

問題:次の方程式を解きなさい

|2x-1|>3

これを絶対値の性質を用いると
2x-1<-3と 3<2x-1を解くことになります。

それぞれを解くと、
x<-1,2<x と求められます。
そんなに難しくないですね。

絶対値の性質を用いて2つの1次不等式を解く
これがコツです。

 

絶対値の入った一次方程式:解が適さない場合もあるので注意

さらに見ていきましょう!少し、ややこしくなります。

問題:次の方程式を解きなさい

|x-4|=-3x

この場合、x-4<0の場合と、x-4≧0の場合に分けて考えます。

x-4<0の場合、x<4である。
|x-4|=-x+4=-3x
2x=-4,x=-2
これは条件に適する。

x-4≧0の場合、x≧4である。
|x-4|=x+4=-3x
4x=-4,x=-1
これは、条件のx≧4に適さない。

よって、答え:x=-2

このように、場合分けして2つの1次不等式を解きましたが、
場合分けの時のxの範囲と方程式の解が一致しない時があるので要注意です。

問題:次の方程式を解きなさい

|x-4|=|2x+1|

この場合、3つの場合分けになります。

x<-1の時、
|x-4|=-x+4
|2x+1|=-2x-1

これを解くと
-x+4=-2x-1
x=-5
これは条件を満たす。

-1≦x<4の時、
|x-4|=-x+4
|2x+1|=2x+1

これを解くと
-x+4=2x+1
3=3x x=1
これは条件を満たす。

4≦xの時、
|x-4|=x-4
|2x+1|=2x+1

これを解くと
x-4=2x+1
-5=x 
これは、4≦xという条件と合わないので不適

解答:x=-5、1

数I:絶対値を使った一次方程式・不等式の解き方は簡単?:まとめ

今日は、絶対値の入った1次方程式と1次不等式についてみてみました。

ポイント1:場合分けをしっかりと

a≧0のとき,| a |=a  
a<0のとき,| a |=−a

ポイント2:不等式の場合、絶対値の性質を使おう

c>0の時、|x|<cなら、-c<x<c
c>0の時、|x|>cなら、x<-c,c<x

ポイント3:範囲によっては解が適さない場合もある。

3つを理解すれば絶対値なんて絶対簡単!

おまけ問題:次の方程式を解きなさい

|x-3|≧2x

答え

x-3≦ー2xまたは2x≦x-3
それぞれを解く。

x-3≦ー2x
3x≦3 x≦1

2x≦x-3
x≦-3

合わせて、x≦1

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