数Ｉ・数と式：絶対値を使った一次方程式・不等式の解き方は簡単？

来週が期末試験の高校が多いと思います。
今日は苦手な人は苦手な絶対値が入った文字式について説明していきます。

絶対値の入った一次方程式は場合分けが大事

まずは問題を見てみましょう

この場合、２ｘ－１＜０の場合と、２ｘ－１≧０の場合に分けて考えます。
２ｘ－１≧０の時は、|２ｘ－１|＝２ｘ－１
２ｘ－１＜０の時は、|２ｘ－１|＝－（２ｘ－１）＝１－２ｘ
になります。

２ｘ－１＝３を解いて、ｘ＝２　
これは、２ｘ－１≧０を満たすのでＯＫ
１－２ｘ＝３を解いて、ｘ＝－１
これは、２ｘ－１＜０を満たすのでＯＫ

答え：ｘ＝２，－１

このように2つの1次方程式を解くことになります。
場合分けして、２つ解くということさえわかれば難しくはないはずです。

絶対値の入った一次不等式は場合分け不要！

次行ってみよー！

この場合、２ｘ－４＜０の場合と、２ｘ－４≧０の場合に分けて考えます。

２ｘ－４＜０の場合、ｘ＜２である。
|２ｘ－４|＝－２ｘ＋４≦６
－２≦２ｘ　
条件と合わせて、－１≦ｘ＜２…①

２ｘ－４≧０の場合、ｘ≧２である。
|２ｘ－４|＝２ｘ－４≦６
２ｘ≦10　ｘ≦５　
条件と合わせて、２≦ｘ≦５…②

①、②より、
答え：－１≦ｘ≦５
となります。

と、これが、解き方１です。が、もっと簡単な解き方があります。

絶対値の性質を用いる解き方

ｃ＞０の時、|ｘ|＞ｃなら、ｘ＜－ｃ，ｃ＜ｘ

これを用いると簡単になります。

|２ｘ－４|≦６　→　－６≦２ｘ－４≦６
－２≦２ｘ≦10
－１≦ｘ≦５　と求められます。

これを絶対値の性質を用いると
２ｘ－１＜－３と　３＜２ｘ－１を解くことになります。

それぞれを解くと、
ｘ＜－１，２＜ｘ　と求められます。
そんなに難しくないですね。

絶対値の性質を用いて２つの１次不等式を解く。
これがコツです。

 

絶対値の入った一次方程式：解が適さない場合もあるので注意

さらに見ていきましょう！少し、ややこしくなります。

この場合、ｘ－４＜０の場合と、ｘ－４≧０の場合に分けて考えます。

ｘ－４＜０の場合、ｘ＜４である。
|ｘ－４|＝－ｘ＋４＝－３ｘ
２ｘ＝－４，ｘ＝－２
これは条件に適する。

ｘ－４≧０の場合、ｘ≧４である。
|ｘ－４|＝ｘ＋４＝－３ｘ
４ｘ＝－４，ｘ＝－１
これは、条件のｘ≧４に適さない。

よって、答え：ｘ＝－２

このように、場合分けして２つの１次不等式を解きましたが、
場合分けの時のｘの範囲と方程式の解が一致しない時があるので要注意です。

この場合、３つの場合分けになります。

ｘ＜－１の時、
|ｘ－４|＝－ｘ+４
|２ｘ＋１|＝－２ｘ－１

これを解くと
－ｘ＋４＝－２ｘ－１
ｘ＝－５
これは条件を満たす。

－１≦ｘ＜４の時、
|ｘ－４|＝－ｘ+４
|２ｘ＋１|＝２ｘ＋１

これを解くと
－ｘ＋４＝２ｘ＋１
３＝３ｘ　ｘ＝１
これは条件を満たす。

４≦ｘの時、
|ｘ－４|＝ｘ－４
|２ｘ＋１|＝２ｘ＋１

これを解くと
ｘ－４＝２ｘ＋１
－５＝ｘ　
これは、４≦ｘという条件と合わないので不適

解答：ｘ＝－５、１

数Ｉ：絶対値を使った一次方程式・不等式の解き方は簡単？：まとめ

今日は、絶対値の入った１次方程式と１次不等式についてみてみました。

ポイント１：場合分けをしっかりと

ポイント２：不等式の場合、絶対値の性質を使おう

ポイント３：範囲によっては解が適さない場合もある。

３つを理解すれば絶対値なんて絶対簡単！

答え

ｘ－３≦ー２ｘまたは２ｘ≦ｘ－３
それぞれを解く。

ｘ－３≦ー２ｘ
３ｘ≦３　ｘ≦１・・①

２ｘ≦ｘ－３
ｘ≦－３・・②

①②を合わせて、ｘ≦１