数学Ｉ：必要条件・十分条件の違い、わかりやすい覚え方ってあるの？

じめじめした日が続きますね。期末試験もたけなわだと思います。
今日は、必要条件・十分条件について勉強しましょう。
わかりやすい覚え方や、試験によく出る問題についてもチェックしていきます。

必要条件・十分条件の分かりやすい覚え方は？

必要条件・十分条件について例題を見ながら考えていきましょう。

これを答える場合に2つのポイント

・必要条件、十分条件の言葉の使い方
・命題が真か偽かをみきわめる

があります。

まずは、必要条件、十分条件の言葉の使い方についてみていきます。

命題「P ならば Ｑ」が成り立つ（真）とき、
記号で「P→Ｑ」と書きます。

さらに、「P ならば Ｑ」に加えて、「 ＱならばＰ」も成り立つとき

なんだか、分かるような分かりにくいような感じですが、

という風に考えると、少しは意味が分かると思います。

また、意味にこだわらず、とりあえず間違わないように覚える方法として
「じゅうよう」のゴロで覚える方法もあります。

ＰならばＱの時、
Ｐは Ｑ であるための十分条件
Ｑ は Ｐ であるための必要条件

十と要で「じゅうよう」　これで覚えてしまうのも一つの手です。

必要条件・十分条件：命題の真偽を見極めるのも大事

それでは例題に戻りましょう

さて、このときＰはｘ＝１、Ｑはｘ^２＝１になります。

ＰならばＱは成り立つのでしょうか？
また、その逆のＱならばＰは成り立つのでしょうか？

ｘ＝１のとき、ｘ^２＝１は成り立つので、
ＰならばＱは成り立っている。
ｘ^２＝１のとき、ｘ＝±１なので、
ｘ＝１は成り立たない。

したがって、Ｐ→Ｑは成り立ち、Ｑ→Ｐは成り立たないので
「じょうよう」から、
ＰはＱの十分条件であることが分かります。

答え（十分）条件

このように、「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」を考えるためには、
Ｐ→Ｑ、Ｑ→Ｐがそれぞれ成り立つのかどうか？
を考える必要があります。

もう少し見てみましょう

このときＰはａｂ＝０、Ｑはa^２＋ｂ^２＝０になります。

ａ，ｂが実数であれば、
a^２＋ｂ^２＝０が成り立つのはａ＝ｂ＝０の時です。
ａｂ＝０が成り立つのは、ａまたはｂが０の時です。

この時、ａｂ=0の時は、ａ，ｂのどちらかは０でなくても良いので、a^２＋ｂ^２＝０は常に成り立つとは言えません。したがって、Ｐ→Ｑは成り立ちません。

一方で、a^２＋ｂ^２＝０の時は、ａ＝ｂ＝０なのでこの時ａｂ＝０は常に成り立ちます。したがってＱ→Ｐは成り立ちます。

Ｑ→Ｐは成り立つので
Ｐは「じょうよう」の要になり、ＰはＱの必要条件であることが分かります。

このように、命題が成り立つかどうか（真偽）と十分・必要の条件を合わせて答えることがポイントになります。

必要条件・十分条件：よくある問題をチェック

それでは、典型的な例題をいくつか解いて理解を深めていきましょう！

解答

（１）ｘ＝４（Ｐ）の時、４ｘ＝ｘ^２（Ｑ）は成り立つので
Ｐ→Ｑは成り立つ。Ｐについて、じゅうようの十が成り立つ。

４ｘ＝ｘ^２の時、Ｘ＝４以外にＸ＝０でも成り立つので
Ｑ→Ｐは成り立たない。

よって、ＰはＱの十分条件

 

（２）a＋b＝０（Ｐ）の時、
例えばａ＝1、ｂ＝－１なら
a^２＋ｂ^２＝０（Ｑ）は成り立たない。
よって、Ｐ→Ｑは成り立たない

a^２＋ｂ^２＝０の時、ａ＝ｂ＝０なので、a＋b＝０は成り立つ
よってＱ→Ｐは成り立つ。
Ｐについて、じゅうようの要が成り立つ

よって、ＰはＱの必要条件

 

（３）ｘ＝２または３（Ｐ）の時、ｘ^２－５ｘ＋６＝０（Ｑ）は成り立つので、Ｐ→Ｑは成り立つ。
Ｐについて、じゅうようの十が成り立つ。

ｘ^２－５ｘ＋６＝０の時、
(ｘ－２)(ｘ－３)＝０である。
この時、ｘ＝２または３である、よってＱ→Ｐも成り立つ。
Ｐについて、じゅうようの要が成り立つ

よって、ＰはＱの必要十分条件

 

（４）２乗の問題は間違いやすい問題でもあります。

ａ^２の平方根は±ａです。
また、（－a）^２＝ａ^２です。　　
a^２＞ｂ^２は、ａ＝－２、ｂ＝１であれば、a＞ｂは成り立ちません。
また、ａ＝１、ｂ＝－２であれば、a＞ｂですが、a^２＞ｂ^２は成り立ちません。

この場合、Ｐ→ＱもＱ→Ｐも成り立ちません。
したがって、答えは必要でも十分どちらでもないになります。

二乗と平方根の大小の比較の場合は注意が必要です。
というか成り立たない場合が一般的です。

 

（５）a＋b＞０（Ｐ）の時、例えばａ＝３ｂ＝－１でも成り立ちます。
この時ａ＞０かつｂ＞０（Ｑ）ではないので、
Ｐ→Ｑは成り立たない。

一方、ａ＞０かつｂ＞０であれば、a＋b＞０はつねに成り立つ。
Ｐについて、Ｑ→Ｐは成り立つ。
Ｐについて、じゅうようの要が成り立つ

よって、ＰはＱの必要条件

 

（４）や（５）のような不等号が入った場合には間違いやすいので、実際の数字を当てはめてみて成り立つかどうか判断するのが良いです。

必要条件・十分条件わかりやすい覚え方まとめ

必要条件・十分条件わかりやすい覚え方と、典型的な問題の解き方を見てきました。

これを押さえれば、期末試験も余裕ですね。
そして、この分野はセンター試験（大学入試共通テスト）の数ＩＡでもよく出る範囲なので、しっかり復習しておくと良いでしょう。